[論文レビュー] Conservative two-stage group testing in the linear regime

Matthew Aldridge|arXiv (Cornell University)|May 6, 2020

SARS-CoV-2 detection and testing被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、個体数 $n$ が大きくなる際、疾患の有病率 $p$ が固定される線形レジームにおける保守的2段階グループテストを研究する。定数のテスト数/アイテムと定数のアイテム数/テストを有する非適応的1段階設計を提案し、この設計がすべての $p$ に対してほぼ最適であり、$p \to 0$ の極限において漸近的に最適であることを示し、テストレートが $\ln 2 \approx 0.693$ に近づくことを明らかにする。

ABSTRACT

Inspired by applications in testing for Covid-19, we consider a variant of two-stage group testing called "conservative" (or "trivial") two-stage testing, where every item declared to be defective must be definitively confirmed by being tested by itself in the second stage. We study this in the linear regime where the prevalence is fixed while the number of items is large. We study various nonadaptive test designs for the first stage, and derive a new lower bound for the total number of tests required. We find that a first-stage design as studied by Broder and Kumar (arXiv:2004.01684) with constant tests per item and constant items per test is extremely close to optimal for all prevalences, and is optimal in the limit as the prevalence tends to zero. Simulations back up the theoretical results.

研究の動機と目的

• 個体数 $n \to \infty$ の際、有病率 $p$ が固定される線形レジームにおける保守的2段階グループテストを分析し、テスト効率と信頼性のバランスを図ること。
• 保守的2段階グループテストに必要な期待テスト数に関する新しい理論的下界を導出すること。
• 特に定数のテスト数/アイテムおよび二重定数設計を含む、さまざまな非適応的1段階設計の性能を評価すること。
• $p \to 0$ の際、ゼロエラーの枠組みにおいてこれらの設計が漸近的に最適であるかどうかを特定すること。
• SARS-CoV-2スクリーニングなどの応用分野における実用的グループテスト戦略の理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• すべての欠陥ありと宣言されたアイテムが2段階目で個別に再テストされる保守的2段階グループテストフレームワークを用いる。
• 非欠陥ありアイテムが正のテストにのみ現れる確率（「隠れた非欠陥あり」）を抑え込むためにFKG不等式を適用する。
• 1段階目のテスト設計パラメータの最適化を通じて、2段階目の期待テスト数の下界を導出する。
• テスト効率を特徴付ける2つの関数 $f(p) = \max_{w \geq 2} \left\{ -w \ln(1 - (1-p)^{w-1}) \right\}$ および $g(p) = \max_{w \geq 2} \left\{ -w \ln(1 - (1-p)^w) \right\}$ を導入する。
• 1段階目のテスト数 $T_1$ を最適化し、合計期待テスト数を最小化することで、閉形式の下界を得る。
• 理論的下界をシミュレーションおよびDorfmanの設計やベルヌーイ設計などの既知のアルゴリズムと比較し、性能を評価する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形レジームにおける保守的2段階グループテストに必要なテスト数の根本的下界は何か？
• RQ2 非適応的1段階設計は、この理論的下界にどの程度近づけるか？
• RQ3 定数のテスト数/アイテム設計は $p \to 0$ の際に漸近的に最適か？
• RQ4 定数のテスト数/アイテム、二重定数、ベルヌーイの3つの1段階設計のうち、どの設計が異なる有病率レベルで最も優れた性能を示すか？
• RQ5 テスト使用レートは $n$ に依存せずに下界をもつことができ、$p \to 0$ の極限でのレートは何か？

主な発見

• 保守的2段階テストの下界は $\mathbb{E}T \geq n \frac{1}{g(p)}(\ln g(p) + 1)$ であり、$g(p) = \max_{w \geq 2} \left\{ -w \ln(1 - (1-p)^w) \right\}$ である。
• $p < 0.171$ の場合、下界 $\mathbb{E}T \geq n \frac{1}{g(p)}(\ln g(p) + 1)$ が支配的である。$0.171 < p < 0.382$ の場合、下界 $\mathbb{E}T \geq n\left(p + \frac{1}{f(p)}(\ln((1-p)f(p)) + 1)\right)$ がよりタイトである。
• $p \to 0$ の際、最適レートは $\ln 2 \approx 0.693$ に近づき、テスト数は $n \cdot \frac{1}{\ln 2} \cdot p \log_2(1/p)$ のスケールで増加する。
• 定数のテスト数/アイテムおよび二重定数1段階設計は、$p \to 0$ の際、最適な漸近的レートを達成し、理論的下界と一致する。
• シミュレーションにより、二重定数設計が $p \leq 1/4$ の範囲で、特に理論的最適に極めて近い性能を示すことが確認された。
• 有病率 $p \geq (3 - \sqrt{5})/2 \approx 0.382$ の場合、$\mathbb{E}T \geq n$ が成り立つため、高有病率領域では個別テストが必須である。