[論文レビュー] Conserved Current Densities, Localization Probabilities, and a New Global Gauge Symmetry of Klein-Gordon Fields

Alí Mostafazadeh, Farhad Zamani|ArXiv.org|Dec 9, 2003

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、クライン=ゴルドン場に対して一パラメータ族の保存電流密度 $J_a^\mu$ を導入し、明示的に共変的で正定値かつローレンツ不変な内積を実現する。最近開発されたヒルベルト空間構成法を用いて、場の局在化のための確率電流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$ を導出し、$c \to \infty$ の極限で非相対論的確率電流に還元されるが、$\mathcal{J}_a^\mu$ は保存的でもなく四元ベクトル場でもない。全確率の保存は、$J_a^\mu$ の局所的保存性に起因し、これは $a$ が有理数か無理数かに応じて $U(1)$ または $\mathbb{R}^+$ のゲージ群をもつ新しいグローバルゲージ対称性に関連している。

ABSTRACT

For free Klein-Gordon fields, we construct a one-parameter family of conserved current densities $J_a^μ$, with $a\in(-1,1)$, and use the latter to yield a manifestly covariant expression for the most general positive-definite and Lorentz-invariant inner product on the space of solutions of the Klein-Gordon equation. Employing a recently developed method of constructing the Hilbert space and observables for Klein-Gordon fields, we then obtain the probability current density ${\cal J}_a^μ$ for the localization of a Klein-Gordon field in space. We show that in the nonrelativistic limit both $J_a^μ$ and ${\cal J}_a^μ$ tend to the probability current density for the localization of a nonrelativistic free particle in space, but that unlike $J_a^μ$ the current density ${\cal J}_a^μ$ is neither covariant nor conserved. Because the total probability may be obtained by integrating either of these two current densities over the whole space, the conservation of the total probability may be viewed as a consequence of the local conservation of $J_a^μ$. The latter is a manifestation of a previously unnoticed global gauge symmetry of the Klein-Gordon fields. The corresponding gauge group is U(1) if the parameter $a$ is rational. It is the multiplicative group of positive real numbers if $a$ is irrational. We also discuss an extension of our results to Klein-Gordon fields minimally coupled to an electromagnetic field.

研究の動機と目的

• 第一量子化されたクライン=ゴルドン場の確率的解釈に関する長年の問題を解決するため、明示的に共変的で正定値かつローレンツ不変な内積を構成すること。
• 場の局在化のための物理的に意味のある確率電流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$ を定義し、非相対論的極限で非相対論的確率電流に還元されることを示すこと。
• 保存電流 $J_a^\mu$ を裏付ける新しいグローバルゲージ対称性を特定すること。$a$ が有理数の場合は $U(1)$、無理数の場合は $\mathbb{R}^+$ のゲージ群をとる。
• 標準的なクライン=ゴルドン電流 $J_{\rm KG}^\mu$ が電荷密度としての役割を果たすことを明確にし、確率電流 $\mathcal{J}_a^\mu$ とは区別すること。

提案手法

• 自由クライン=ゴルドン場に対して、パrameter $a \in (-1,1)$ を用いて一パラメータ族の保存電流密度 $J_a^\mu$ を構成し、クライン=ゴルドン方程式の解に対する修正された二重線形形式を用いる。
• 解空間上での最も一般な正定値かつローレンツ不変な内積を、$J_a^\mu$ を通じて明示的に共変な形で導出する。
• 最近開発されたクライン=ゴルドン場のヒルベルト空間構成法を応用し、場の局在化のための確率電流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$ を定義する。
• 非相対論的極限 $c \to \infty$ を分析し、$\mathcal{J}_a^\mu$ が古典的非相対論的確率電流密度に還元されることを示す。
• 二つの正エネルギー平面波解の重ね合わせを用いて、$\mathcal{J}_a^\mu$ と $J_a^\mu$ を明示的に計算し、$\mathcal{J}_a^\mu$ が四元ベクトル場でもなく保存的でもないことを示す。
• $J_a^\mu$ が保存的である（$\partial_\mu J_a^\mu = 0$）ことと、$\omega_1 \neq \omega_2$ のとき $\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \neq 0$ であることを証明し、確率電流の非保存性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クライン=ゴルドン場解の空間に対して、明示的に共変的で正定値かつローレンツ不変な内積を構成することは可能か？
• RQ2 第一量子化フレームワークにおける場の局在化のための相対論的一般化としての正しい非相対論的確率電流の一般化は何か？
• RQ3 標準的なクライン=ゴルドン電流 $J_{\rm KG}^\mu$ が確率電流として不適切なのはなぜか？何に置き換わるのか？
• RQ4 保存電流 $J_a^\mu$ は新しいグローバルゲージ対称性を示唆するか？その対応するゲージ群の構造は何か？
• RQ5 確率電流 $\mathcal{J}_a^\mu$ は四元ベクトル場か？局所的保存則を満たすか？

主な発見

• $J_a^\mu$ は保存的である（$\partial_\mu J_a^\mu = 0$）ことが示され、クライン=ゴルドン方程式の解空間上に明示的に共変的で正定値かつローレンツ不変な内積を実現する。
• 場の局在化のための確率電流密度 $\mathcal{J}_a^\mu$ はヒルベルト空間構成法を用いて導出され、$c \to \infty$ の極限で非相対論的確率電流に還元される。
• $J_a^\mu$ とは異なり、$\mathcal{J}_a^\mu$ は保存的でない（$\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \neq 0$）し、四元ベクトル場でもない。これは平面波の重ね合わせに対する明示的計算で示された。
• 二つの平面波の重ね合わせを用いた計算により、$\mathcal{J}_a^\mu$ の非保存性が示され、$\partial_\mu \mathcal{J}_a^\mu \propto \left(\sqrt{\omega_1/\omega_2} - \sqrt{\omega_2/\omega_1}\right)$ となる。$\omega_1 \neq \omega_2$ のときこの量は非ゼロである。
• 保存電流 $J_a^\mu$ が新しいグローバルゲージ対称性に起因することを示し、$a$ が有理数の場合は $U(1)$、無理数の場合は $\mathbb{R}^+$ のゲージ群をとる。
• 全確率の保存は、$J_a^\mu$ の局所的保存性に起因する。$\mathcal{J}_a^\mu$ 自身が保存的でないにもかかわらず、全確率が保存されることから、一見矛盾するように思えるが、これは矛盾を解消する。