[論文レビュー] Conserved currents in $D$-dimensional gravity and brane cosmology

А. Н. Петров|ArXiv.org|Jan 20, 2004

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、ラグランジアンに2階微分を含むD次元重力理論において、保存電流およびスーパーポテンシャルを構成する共変的でバックグラウンド依存の形式的枠組みを展開する。リー微分と一般化されたバイアッキー恒等式を活用することで、ラグランジアンに追加された発散項に依存しないスーパーポテンシャルを持つ発散なしの電流が導かれる。これにより、摂動的ガウス＝ボナーブレーン宇宙論および任意の曲がった背景を持つ一般相対性理論において、一意的かつゲージ不変な保存量が得られる。

ABSTRACT

In $D$-dimentional gravity on arbitrary curved backgrounds using proven methods conserved currents, divergences of antisymmetrical tensor densities (superpotentials), are constructed. These superpotentials have two remarkable properties: they depend in an essential way on second derivatives in the Lagrangian and are independent on divergences added to it. The conserved currents are thus particulary well adapted to the case of perturbations in Gauss-Bonett cosmological brane theories.

研究の動機と目的

• ラグランジアンに2階微分を含むD次元重力理論における保存電流およびスーパーポテンシャルの構成。
• スーパーポテンシャルがラグランジアンに追加された発散に依存しないように保証することによる物理的一致性の確保。
• この形式的枠組みを摂動的ガウス＝ボナーブレーン宇宙論および任意の曲がった背景を持つ一般相対性理論に拡張すること。
• ラグランジアンの発散に起因する境界条件とスーパーポテンシャルの一意性との間の一対一対応を確立すること。
• カーツ、ビチャック、リンデン＝ベルンらの既存結果を統一的枠組み内で統合・一般化すること。

提案手法

• ベクトル場 $\xi^\alpha$ に関するリー微分を定義するため、計量 $\overline{g}_{\mu\nu}$ を持つ補助的バックグラウンド時空を導入し、微分を共変的に扱う。
• ラグランジアンスカラー密度のリー微分を電流およびスーパーポテンシャルの項で表現することで、一般化された恒等式 $\hat{I}^\alpha{}_{;\alpha} \equiv 0$ を導出する。
• 保存電流 $\hat{I}^\alpha$ はスーパーポテンシャル $\hat{\Phi}^{\alpha\beta}$ の発散として表現され、その成分 $\hat{u}^\alpha_\sigma$、$\hat{m}^{\alpha\beta}_\sigma$、$\hat{n}^{\alpha\beta\gamma}_\sigma$ はラグランジアンの変分導関数から得られる。
• 一般化されたバイアッキー恒等式を用いて、$\hat{n}^{(\alpha\beta\gamma)}_\sigma \equiv 0$ を含む一連の制約が導かれ、スーパーポテンシャルの整合性が保証される。
• 摂動的理論、例えば5次元ガウス＝ボナーブレーン宇宙論においては、ラグランジアンをバックグラウンド部と摂動部に分割し、バー演算子と発散項の減算を適用することでスーパーポテンシャルを構成する。
• 得られたスーパーポテンシャル (20) は $D=5$ に対して明示的に導出され、$\alpha=0$ かつ $M_*^{-3} = \kappa$ のとき、$D=4$ 一般相対性理論における既知の結果に還元されることが示された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階微分を含むD次元重力理論における保存電流を一貫的に構成する方法は何か？
• RQ2 スーパーポテンシャルがラグランジアンに追加された発散に依存しないことを保証する条件は何か？
• RQ3 この形式的枠組みは、特にガウス＝ボナーブレーン重力における摂動的ブレーン宇宙論にどのように適用可能か？
• RQ4 この枠組みにおいて境界条件とスーパーポテンシャルの一意性との関係は何か？
• RQ5 本手法は、カーツ、ビチャック、リンデン＝ベルンらの既存結果をどのように一般化または統合するか？

主な発見

• 一般化されたリー微分恒等式のおかげで、保存電流 $\hat{I}^\alpha$ は恒等的に保存される（$\hat{I}^\alpha{}_{;\alpha} \equiv 0$）ため、ゲージ不変性が保証される。
• スーパーポテンシャル $\hat{\Phi}^{\alpha\beta}$ はラグランジアンによって一意に決定され、追加された発散に依存しないため、物理的一致性が保証される。
• 5次元ガウス＝ボナーブレーン宇宙論において、スーパーポテンシャル (20) が明示的に構成され、$\alpha=0$ かつ $M_*^{-3} = \kappa$ のとき、$D=4$ 一般相対性理論におけるKBL結果に還元されることが示された。
• この形式的枠組みは、ラグランジアンの発散の選択と対応するスーパーポテンシャルとの間に一対一対応を確立し、境界条件を物理的観測量に関連付ける。
• 恒等式の段階的系列 (9) により、形式的枠組みの整合性が確認され、$\hat{n}^{(\alpha\beta\gamma)}_\sigma \equiv 0$ がスーパーポテンシャルの閉じるための反対称性を保証する。
• 導出されたスーパーポテンシャル (20) が、以前の研究 [8] におけるベルンフィンテ正則化結果と、$D=4$ の極限で一致することが示され、既存手法との整合性が確認された。