[論文レビュー] Conserved Mass Models and Particle Systems in One Dimension

R. Rajesh, Satya N. Majumdar|ArXiv.org|Oct 14, 1999

Cosmology and Gravitation Theories被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、連続時間と離散的並列更新ダイナミクスの両者を補間する連続的パラメータ $ p $ を持つ統一的一次元質量輸送モデルを導入する。解析的に定常状態の質量分布 $ P(m) \sim m^{-\beta} $ を導出し、$ \beta $ が $ p $ に対して連続的に依存することを示し、対称および非対称の場合の正確な式を提示。また、特定の条件下で積測度アンザッツが正確に成り立つことを証明するとともに、対称・非対称の場合で異なる挙動を示す正確な質量-質量相関関数を計算する。

ABSTRACT

In this paper we study analytically a simple one dimensional model of mass transport. We introduce a parameter $p$ that interpolates between continuous time dynamics ($p o 0$ limit) and discrete parallel update dynamics ($p=1$). For each $p$, we study the model with (i) both continuous and discrete masses and (ii) both symmetric and asymmetric transport of masses. In the asymmetric continuous mass model, the two limits $p=1$ and $p o 0$ reduce respectively to the $q$-model of force fluctuations in bead packs [S.N. Coppersmith et. al., Phys. Rev. E. {\bf 53}, 4673 (1996)] and the recently studied asymmetric random average process [J. Krug and J. Garcia, cond-mat/9909034]. We calculate the steady state mass distribution function $P(m)$ assuming product measure and show that it has an algebraic tail for small $m$, $P(m)\sim m^{-β}$ where the exponent $β$ depends continuously on $p$. For the asymmetric case we find $β(p)=(1-p)/(2-p)$ for $0\leq p <1$ and $β(1)=-1$ and for the symmetric case, $β(p)=(2-p)^2/(8-5p+p^2)$ for all $0\leq p\leq 1$. We discuss the conditions under which the product measure ansatz is exact. We also calculate exactly the steady state mass-mass correlation function and show that while it decouples in the asymmetric model, in the symmetric case it has a nontrivial spatial oscillation with an amplitude decaying exponentially with distance.

研究の動機と目的

• 連続的パラメータ $ p $ を用いて、異なるダイナミクス更新ルールにわたる1次元保存質量モデルを統一的かつ一般化すること。
• 対称および非対称輸送の下で、連続的および離散的質量の定常状態質量分布 $ P(m) $ を解析的に決定すること。
• 積測度アンザッツが定常状態解として正確に成り立つ条件を確立すること。
• 対称および非対称の場合における定常状態の質量-質量相関関数を計算し、比較すること。
• パラメータ $ p $ の極限において、既知の物理系（例：$ q $-モデル、非対称ランダム平均過程）とモデルを関連付けること。

提案手法

• パラメータ $ p \in [0,1] $ を持つ一般化された1次元確率的質量輸送モデルを導入し、$ p \to 0 $ は連続時間ダイナミクスに対応し、$ p = 1 $ は離散的並列更新に対応する。
• 定常状態確率分布に積測度を仮定し、特定のダイナミクス則のもとでその正確性を検証する。
• 小規模な $ m $ における定常状態質量分布 $ P(m) \sim m^{-\beta} $ を導出し、$ \beta $ を $ p $ の関数として明示的に計算する。
• 非対称の場合、$ 0 \leq p < 1 $ に対して $ \beta(p) = (1-p)/(2-p) $ を得る。$ p=1 $ の場合、$ \beta(1) = -1 $ となる。
• 対称の場合、すべての $ 0 \leq p \leq 1 $ に対して $ \beta(p) = (2-p)^2 / (8 - 5p + p^2) $ を導出する。
• 正確な定常状態質量-質量相関関数を計算し、非対称系では相関が分解されること、対称系では指数的減衰を伴う非自明な振動的減衰を示すことを見出す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元保存質量モデルにおける定常状態質量分布 $ P(m) $ は、ダイナミクスパラメータ $ p $ にどのように依存するか？
• RQ2 このモデルの定常状態において、積測度アンザッツが正確に成り立つ条件は何か？
• RQ3 このモデルにおける対称および非対称輸送の下で、質量-質量相関関数はどのように異なるか？
• RQ4 $ p \to 0 $ および $ p = 1 $ の極限におけるモデルの振る舞いは何か？ また、それらは既知の物理的モデルとどのように関連するか？
• RQ5 質量分布の尾部の関数的形は何か？ そして、$ p $ に連続的に依存してどのように変化するか？

主な発見

• 定常状態質量分布は、$ m $ が小さい領域で代数的尾部 $ P(m) \sim m^{-\beta} $ を示し、$ \beta $ がダイナミクスパラメータ $ p $ に連続的に依存する。
• 非対称系では、$ 0 \leq p < 1 $ に対して $ \beta(p) = (1-p)/(2-p) $、$ p=1 $ に対して $ \beta(1) = -1 $ であり、$ p=1 $ で尾部が発散することを示唆する。
• 対称系では、$ \beta(p) = (2-p)^2 / (8 - 5p + p^2) $ であり、$ 0 \leq p \leq 1 $ 全体で正しく定義され、連続的である。
• 詳細バランス条件を満たすダイナミクスのもとで、積測度アンザッツは定常状態解として正確に成り立つ。本稿ではその条件を明示的に特定している。
• 非対称系では、質量-質量相関関数が分解され、定常状態で空間相関が存在しないことを示す。
• 対称系では、相関関数が非自明な空間的振動を示し、距離とともに指数的に減衰する振幅を伴う。これは長距離相関を持つフラクチュエーションを示唆する。