[論文レビュー] Conserving symmetries in Bose-Einstein condensate dynamics requires many-body theory

Kaspar Sakmann, Jörg Schmiedmayer|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、ボーズ・アインシュタイン凝縮（BEC）のダイナミクスに広く用いられるグロス＝ピタエフスキー（GP）平均場理論が、凝縮度や相互作用エネルギーが無視できる場合でさえ、平均場近似のため、角運動量や線形運動量といった基本的保存則に違反することを示している。著者らは、解析的および数値的に、時間発展においてこれらの対称性を一貫して回復できるのは、多体理論、たとえばボソンの多配置時間依存ハートリー法（MCTDHB）に限ることを示している。

ABSTRACT

We explain from first principles why satisfying conservation laws in Bose Einstein condensate dynamics requires many-body theory. For the Gross-Pitaevskii mean-field we show analytically and numerically that conservation laws are violated. We provide examples for angular momentum and linear momentum conservation. Arbitrarily large violations occur despite negligible depletion and interaction energy. For the case of angular momentum we show through extensive many-body simulations how the conservation law can be gradually restored on the many-body level. Implications are discussed.

研究の動機と目的

• BECダイナミクスにおける保存則が、平均場近似ではなく多体理論を必要とすることを、第一原理から確立すること。
• 広く用いられているにもかかわらず、グロス＝ピタエフスキー（GP）平均場手法において保存則違反が生じる根本的要因を特定すること。
• 凝縮度や相互作用エネルギーが無視できる状況でも、角運動量および線形運動量保存則の違反が、解析的および数値的に生じることを示すこと。
• ボソンの多配置時間依存ハートリー法（MCTDHB）が、多体相関を通じてどのように保存則を段階的に回復するかを示すこと。
• 時間に依存しない⟨P²⟩が運動エネルギー保存を示すという誤解を解き明かし、相互作用を含む多体系では運動エネルギーが保存されないことを示すこと。

提案手法

• 時間に依存する変分原理（ディラック＝フレンケル形式）を用いて、時間に依存する軌道を持つ多体系波動関数の運動方程式を導出する。
• ボソンの多配置時間依存ハートリー法（MCTDHB）のアンザッツを適用し、軌道と係数の両方を変化させることで、完全な多体系記述を可能にする。
• 角運動量（Lz）や運動量（P）といった保存量の高次モーメント（最大3次まで）の時間微分を解析し、GP理論における明確な違反を示す。
• 還元密度行列を用いてGP理論におけるd⟨Aⁿ⟩/dtの正確な式を導出し、その寄与がN²に比例し、期待値が時間に依存することを明らかにする。
• MCTDHBを用いた広範な数値シミュレーションにより、多体系相関が含まれるに従い保存則が段階的に回復されることを示す。
• チープドガウス波束を用いた Gedankenexperimente を用い、特定の初期状態における保存則違反を分離して計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グロス＝ピタエフスキー平均場理論が、BECダイナミクスにおいて角運動量および線形運動量保存則に違反する条件は何か？
• RQ2 多体系ハミルトニアンの対称性から導かれる保存則が、正確な理論では保存されるにもかかわらず、なぜ平均場近似では失敗するのか？
• RQ3 ボソンの多配置時間依存ハートリー法（MCTDHB）は、時間発展においてどの程度までこれらの対称性を回復できるか？
• RQ4 相互作用を含む多体系において、P²の時間不変性が運動エネルギー保存を示すのには誤解がある。なぜか？
• RQ5 2体および3体還元密度行列の寄与が、保存演算子の高次モーメントにおいてどのようにN²に比例する違反を生じるか？

主な発見

• 凝縮度や相互作用エネルギーが無視できる場合でさえ、グロス＝ピタエフスキー平均場理論は角運動量保存則に違反する。これは、GP理論における時間に依存する⟨Lz³⟩の存在によって示されている。
• チープドガウス初期状態では、d⟨Lz³⟩/dt = N²λ(3k²x₀y₀)/(2πσ₀²) であり、明確な時間依存性と保存則違反が証明される。
• 同様に、GP理論における⟨P³⟩の時間微分は非ゼロである：d⟨P³⟩/dt = N²λ(12p₀²x₀)/√(2πσ₀²) であり、運動量保存則の違反が示されている。
• この違反は、2体および3体還元密度行列の寄与に起因し、これらはN²に比例するが、平均場近似では存在しない。
• MCTDHBシミュレーションにより、多体系相関が含まれるに従い保存則が段階的に回復され、完全な多体系理論でのみ対称性が保存されることを確認した。
• 運動エネルギーは、相互作用を含む系では保存されない。これは、P² ≠ 2T であり、運動量と相互作用項が非可換であるため、[T, H] ≠ 0 となるためである。