[論文レビュー] Consimilarity of Split Quaternion Matrices and a Solution of the Split Quaternion Matrix Equation X-AX_B=C

Hidayet Hüda Kösal, Mahmut Akyiğit+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 27, 2014

Matrix Theory and Algorithms参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、分割ケイリー数行列に対する共相似性を導入し、共固有値と共固有ベクトルを定義し、実表現を用いて行列方程式 $X - A\widetilde{X}B = C$ を解く。主な貢献は、実表現 $\phi_A$ を用いて得られる明示的な閉形式解であり、標準的な実行列の技法を用いて分割ケイリー数行列方程式を体系的に解くことを可能にする。

ABSTRACT

In this paper, the consimilarity of complex matrices is generalized for the split quaternions. In this regard, coneigenvalue and coneigenvector are defined for split quaternion matrices. Also, the existence of solution to the split quaternion matrix equation X-AXB = C is characterized and the solution of the equation in the explicit form are derived via its real representation.

研究の動機と目的

• 複素行列に対する共相似性の概念を分割ケイリー数行列へ一般化すること。
• 分割ケイリー数行列に対する共固有値と共固有ベクトルを定義し、その性質を特徴づけること。
• 分割ケイリー数行列方程式 $X - A\widetilde{X}B = C$ の解の存在に必要な十分条件を確立すること。
• 実表現技法を用いて、行列方程式の明示的閉形式解を導出すること。

提案手法

• 非ゼロの $p$ に対して $a = \overline{p} b p^{-1}$ が成り立つとき、$a \overset{c}{\sim} b$ と定義することで、分割ケイリー数に対する共相似性を導入する。
• 方程式 $A\widetilde{x} = x\lambda$ を通じて、分割ケイリー数行列の共固有値と共固有ベクトルを定義し、実表現 $\phi_A$ の固有値と関連付ける。
• 実表現 $\phi_A$ を用いて、分割ケイリー数行列方程式 $X - A\widetilde{X}B = C$ を実行列方程式 $Y - \phi_A Y \phi_B = \phi_C$ に変換する。
• 変換 $X = \frac{1}{16}(I_m\; iI_m\; jI_m\; kI_m) \cdot (Y - Q_m^{-1}Y Q_n + R_m^{-1}Y R_n - S_m^{-1}Y S_n) \cdot \begin{pmatrix} I_n \\ iI_n \\ jI_n \\ -kI_n \end{pmatrix}$ を用いて、$Y$ の解を用いた $X$ の明示的解公式を導出する。
• 実表現 $\phi_X = Y'$ が実行列方程式の解であることを示すことにより、導出された $X$ が元の分割ケイリー数方程式を満たすことを検証する。
• 実表現写像を介して、分割ケイリー数方程式の解と実行列方程式の解との間の同値性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分割ケイリー数行列への共相似性の適切な一般化は何か？ また、その共役やノルム保存性との関係は？
• RQ2 分割ケイリー数行列に対する共固有値と共固有ベクトルはどのように定義できるか？ また、実表現 $\phi_A$ の固有値とはどのような関係にあるか？
• RQ3 分割ケイリー数行列方程式 $X - A\widetilde{X}B = C$ が解をもつための条件は何か？
• RQ4 実表現から、$X$ の閉形式解を導出できるか？

主な発見

• 分割ケイリー数行列 $A$ の実表現 $\phi_A$ は、$4m \times 4m$ 実行列であり、代数的構造を保存する。これにより、分割ケイリー数方程式を実行列方程式に変換可能である。
• 分割ケイリー数行列方程式 $X - A\widetilde{X}B = C$ が解をもつための必要十分条件は、対応する実行列方程式 $Y - \phi_A Y \phi_B = \phi_C$ が解をもつことである。
• 分割ケイリー数方程式の解 $X$ は、$Y$ が実行列方程式の解であるとき、次式で明示的に与えられる：$X = \frac{1}{16}(I_m\; iI_m\; jI_m\; kI_m) \cdot (Y - Q_m^{-1}Y Q_n + R_m^{-1}Y R_n - S_m^{-1}Y S_n) \cdot \begin{pmatrix} I_n \\ iI_n \\ jI_n \\ -kI_n \end{pmatrix}$。
• 解 $X$ の実表現 $\phi_X$ は $Y' = \frac{1}{4}(Y - Q_m^{-1}Y Q_n + R_m^{-1}Y R_n - S_m^{-1}Y S_n)$ に等しく、これは実行列方程式の解である。
• 行列 $A$ の共固有値は、$\phi_A$ の複素固有値にちょうど一致する。すなわち、$\widetilde{\sigma}_r(A) \cap \mathbb{C} = \sigma(\phi_A)$ が成り立つ。
• 解の公式により $\phi_X = Y'$ が成り立つことが保証され、導出された $X$ が元の分割ケイリー数方程式を満たすことが確認される。