[論文レビュー] Consistency and Asymptotic Normality of Stochastic Block Models Estimators from Sampled Data

Mahendra Mariadassou, Timothée Tabouy|arXiv (Cornell University)|Mar 28, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、MCAR（完全にランダムに欠落）なサンプリングを仮定したもとで、重み付きエッジを伴うストキャスティックブロックモデル（SBM）における最尤推定および変分推定の一貫性と漸近正規性を確立する。推定器が、$\rho \gg \log(n)/n$ を満たす限り一貫性を保ち、漸近正規性を示すことが示され、欠損観測を伴う重み付きネットワークへの理論的保証が拡張された。

ABSTRACT

Statistical analysis of network is an active research area and the literature counts a lot of papers concerned with network models and statistical analysis of networks. However, very few papers deal with missing data in network analysis and we reckon that, in practice, networks are often observed with missing values. In this paper we focus on the Stochastic Block Model with valued edges and consider a MCAR setting by assuming that every dyad (pair of nodes) is sampled identically and independently of the others with probability $\ ho > 0$. We prove that maximum likelihood estimators and its variational approximations are consistent and asymptotically normal in the presence of missing data as soon as the sampling probability $\ ho$ satisfies $\ ho\\gg\\log(n)/n$.

研究の動機と目的

• エッジデータが欠落するため部分的に観測される状況下で、スチュアスティックブロックモデル（SBM）におけるパラメータ推定の理論的保証を確立すること。
• 従来、二値または完全に観測されたネットワークに限られていた一貫性および漸近正規性に関する結果を、欠落データ下での重み付きエッジへの拡張すること。
• 潜在的なブロック構造を有するネットワークモデルの文脈において、欠落データが最尤推定および変分推定に与える影響を分析すること。
• 推定器が対照的なdyadの観測が不完全であっても、一貫性および漸近正規性を保つための条件を提供すること。
• 無限大の非ガウス型エッジ重みを伴うサンプリング機構に対応するため、濃縮不等式および漸近理論を適応すること。

提案手法

• ネットワークを、MCAR（完全にランダムに欠落）メカニズム下で各dyadが確率$\rho$で独立に観測される重み付きエッジを伴うスチュアスティックブロックモデルとしてモデル化する。
• 最尤推定（MLE）および変分近似（VE）を用いてモデルパラメータを推定し、欠落したdyadを考慮した尤度を適応的に修正する。
• モデル下での期待値からの観測エッジ重みの乖離を制御するため、部分指数型濃縮不等式を適用する。
• 真の割り当てに近い配置の数を制御し、局所的同定可能性を保証するため、潜在的割り当てベクトル$\mathbf{z}^\star$に対する正則性条件を導入する。
• 多項分布割合の局所的漸近正規性を活用し、真の配置と任意の代替配置間の尤度比を制限する。
• 条件$\rho \gg \log(n)/n$の下で、推定誤差が$ n^{-1/2} $のレートで分布収束することを示すことにより、漸近正規性を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最尤推定および変分推定が、重み付きエッジを伴うスチュアスティックブロックモデルにおいて、どの程度のサンプリング条件下で一貫性を示すか？
• RQ2 特に無限大のエッジ重みを伴う場合に、エッジがランダムに欠落する状況下で推定器の漸近正規性を確立できるか？
• RQ3 サンプリング確率$\rho$は、推定器の収束速度および漸近分布にどのように影響を与えるか？
• RQ4 欠落データ下で無限大の非ガウス型エッジ重みを扱うために、濃縮不等式にどのような修正が必要か？
• RQ5 二値SBMに対する理論的保証が、部分観測下での重み付きSBMにどの程度まで拡張可能か？

主な発見

• 最尤推定および変分推定が、MCARサンプリング下で$\rho \gg \log(n)/n$ を満たす限り、重み付きエッジを伴うSBMに対して一貫性を示す。
• 同じサンプリング条件の下で推定器の漸近正規性が確立され、収束レートは$ n^{-1/2} $である。
• 証明は、重み付きエッジに由来する無限大の非ガウス型確率変数の和に対する部分指数型濃縮不等式に依存する。
• 真の配置と任意の代替配置間の尤度比は、ハミング距離に応じて指数関数的に減少し、$\mathcal{O}_P(1)\exp\{M_{c/4}\|\mathbf{z}-\mathbf{z}^\star\|_0\}$により制御される。
• 濃縮および漸近正規性の議論を無限大のエッジ重みに適応させることにより、二値SBMから重み付きSBMへの結果の拡張に理論的枠組みが成功した。
• 条件$\rho \gg \log(n)/n$は、欠落dyadの数が推定プロセスを支配しないことを保証し、統計的効率性を維持する。