[論文レビュー] Consistency of full-sample bootstrap for estimating high-quantile, tail probability, and tail index

С.Г. Литвинова, Mervyn J. Silvapulle|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2020

Statistical Methods and Inference被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、一変量の重尾分布における高 quantile、尾確率、極値指数の推定について、全標本非パラメトリックブートストラップの漸近的妥当性を確立する。ブートストラップが漸近的手法よりも信頼性の高い被覆率を提供することを示し、特に軽尾および重尾の場合に顕著で、極値推論におけるその一貫性に関する長年の懸念を解消する。

ABSTRACT

We show that the full-sample bootstrap is asymptotically valid for constructing confidence intervals for high-quantiles, tail probabilities, and other tail parameters of a univariate distribution. This resolves the doubts that have been raised about the validity of such bootstrap methods. In our extensive simulation study, the overall performance of the bootstrap method was better than that of the standard asymptotic method, indicating that the bootstrap method is at least as good, if not better than, the asymptotic method for inference. This paper also lays the foundation for developing bootstrap methods for inference about tail events in multivariate statistics; this is particularly important because some of the non-bootstrap methods are complex.

研究の動機と目的

• 一変量分布における尾パラメータの全標本ブートストラップの妥当性に関する長年の懸念を解消すること。
• 高 quantile、尾確率、極値指数推定における全標本ブートストラップの漸近的一貫性を確立すること。
• 広範なシミュレーションを通じて、ブートストラップと漸近的手法の有限標本性能を評価すること。
• 多変量および時系列の尾推論へのブートストラップ手法の拡張の基盤を築くこと。
• 尾順応プロセスとブートストラップ理論を用いた厳密な理論的裏付けを提供すること。

提案手法

• 本手法は、元の i.i.d. 標本から再抽出を繰り返す全標本非パラメトリックブートストラップを採用し、尾統計量の標本分布を推定する。
• 尾順応プロセス理論に依拠して、ブートストラップ分布が真の尾推定量の標本分布に収束することを理論的に確立する。
• 被覆区間は百分位数法、基本法、t 法を用いて構築され、Hill 評価フレームワークにおける複数の k 値で性能が評価される。
• 理論的結果は、Csörgő と Mason (1989) が提唱した尾順応プロセスのブートストラップ化に関する技術を用いて導出される。
• シミュレーションでは、尾の重さ、標本サイズ、尾確率の変動を想定した状況で、ブートストラップと漸近的被覆区間を比較する。
• Hill 評価器を用いた極値指数推定に本手法を適用し、推定量の標本分布を近似するためにブートストラップ再抽出が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重尾分布における高 quantile および尾確率の信頼区間を構築するための全標本ブートストラップは、漸近的に有効であるか？
• RQ2 被覆確率および区間長の観点から、ブートストラップ手法は標準的漸近的手法と比べてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 軽尾、重尾、有界尾の異なる尾タイプおよび異なる標本サイズにおいて、ブートストラップ手法は信頼性のある被覆を維持するか？
• RQ4 Hill 評価器を用いた極値指数推定に、ブートストラップを一貫して適用可能か？
• RQ5 真の quantile が観測された最大値を上回る場合、有限標本におけるブートストラップ信頼区間の挙動はいかなるものか？

主な発見

• 全標本ブートストラップは、一変量分布における高 quantile、尾確率、極値指数推定に関して漸近的に有効である。
• シミュレーションにおいて、テストしたすべての分布で、ブートストラップ手法は漸近的手法よりも名目水準に近い被覆率を達成した。
• Frechet(1) および Frechet(2) の一部のケースを除き、すべての分布でブートストラップ手法が被覆性能において漸近的手法を上回った。
• より軽い尾を持つ分布（例：正規分布、指数分布）では、ブートストラップ手法が被覆信頼性において明確な優位性を示した。
• 両手法の信頼区間長は類似しており、ブートストラップの優れた性能がより狭い区間によるものではないことを示している。
• 実務において、尾パラメータの推論ツールとして、漸近的手法よりもブートストラップをより信頼できるものとして採用すべきであるという結果が支持される。