[論文レビュー] Consistency of the Adiabatic Theorem

M. S. Sarandy, Lian-Ao Wu+1 more|ArXiv.org|May 12, 2004

Quantum chaos and dynamical systems被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、量子断熱定理における主張された不整合を解消している。その根拠は、断熱波動関数が初期固有状態にとどまるものと誤って仮定したことに起因する。実際には、波動関数は時間に応じて変化する瞬時の固有状態に従い、ベリー位相を獲得する。正しく適用された場合、断熱定理は一貫性を保つ。標準的な断熱条件（ハミルトニアンの時間微分の行列要素とエネルギーギャップを含む）が有効である。

ABSTRACT

We review the quantum adiabatic approximation for closed systems, and its recently introduced generalization to open systems (M.S. Sarandy and D.A. Lidar, e-print quant-ph/0404147). We also critically examine a recent argument claiming that there is an inconsistency in the adiabatic theorem for closed quantum systems [K.P. Marzlin and B.C. Sanders, Phys. Rev. Lett. 93, 160408 (2004)] and point out how an incorrect manipulation of the adiabatic theorem may lead one to obtain such an inconsistent result.

研究の動機と目的

• 閉じた量子系における断熱定理の不整合に関する最近の主張に応えること、特にMarzlinとSanders（2004）の主張を扱う。
• 不整合を引き起こす誤った仮定を特定することで、断熱定理の正しい適用方法を明確化すること。
• 波動関数が時間に応じて瞬時の固有状態に従い、幾何位相を獲得するように正しく定義された場合、断熱定理が一貫することを再確認すること。
• マスター方程式生成子のジョルダン標準形を用いることで、断熱近似を開放系に一般化すること。
• 断熱条件の厳密な導出を提供し、それを瞬時の固有状態への射影によってその有効性を示すこと。

提案手法

• 時間に依存するシュレーディンガー方程式から、ユニタリ変換を用いて瞬時の固有基底に変換することで断熱条件を導出する。
• 断熱条件を適用：$\max_t \left| \frac{\langle k|\dot{H}|n\rangle}{g_{nk}} \right| \ll \min_t |g_{nk}| $、ここで $g_{nk}$ はエネルギーギャップである。
• 断熱波動関数は $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} e^{i\beta_0} |E_0(t)\rangle$ で与えられ、ここで $\beta_0 = i\int \langle E_0|\dot{E}_0\rangle dt$ はベリー位相であることを示す。
• 誤った解 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} |E_0(t_0)\rangle$ が、$H(t)$ の瞬時の固有状態であるという要件を満たさないことを示す。
• 断熱条件を瞬時の固有基底に射影することで一貫性を証明し、$n \neq 0$ に対して $\left| \frac{\langle E_n|\dot{E}_0\rangle}{E_0 - E_n} \right| \ll 1$ が成り立つことを示す。
• リンドブラッド生成子のジョルダン標準形を用いることで、開放系への断熱近似を一般化し、固有状態の代わりに独立に進化するリンドブラッド＝ジョルダンブロックを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 MarzlinとSandersが提示した断熱定理における主張された不整合の原因は何ですか？
• RQ2 なぜ解 $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} |E_0(t_0)\rangle$ は断熱条件に整合しないのですか？
• RQ3 ハミルトニアンがゆっくりと変化する場合、断熱定理を閉じた量子系に正しく適用するにはどうすればよいですか？
• RQ4 シュレーディンガー方程式と固有状態条件の両方を満たす正しい断熱波動関数の形は何か？
• RQ5 ユニタリ時間発展が成り立たない開放系において、断熱近似はどのように一般化されるか？

主な発見

• MarzlinとSandersが主張した不整合は、断熱波動関数が初期固有状態 $|E_0(t_0)\rangle$ にとどまるものと誤って仮定したことに起因する。実際には、波動関数は時間に応じて変化する瞬時の固有状態 $|E_0(t)\rangle$ に従うべきである。
• 正しい断熱波動関数は $|\psi(t)\rangle = e^{-i\int^{t} E_0} e^{i\beta_0} |E_0(t)\rangle$ で与えられ、ここで $\beta_0$ はベリー位相であり、$H(t)$ の瞬時の固有状態のまま保たれる。
• 誤った解は、物理的に不適切な条件 $e^{i\beta_0} \langle E_0(t_0)|E_0(t)\rangle = 1$ を引き起こし、システムが静的でない限り断熱条件を満たさない。
• 標準的な枠組みにおいて、断熱的進化のための必要十分条件は、$n \neq 0$ に対して $\left| \frac{\langle E_n|\dot{E}_0\rangle}{E_0 - E_n} \right| \ll 1$ が成り立つことである。
• 正しく適用された場合、断熱定理は一貫性を保ち、表面的な矛盾は固有状態の時間変化を無視した定理の誤った適用に起因する。
• マスター方程式生成子のジョルダン標準形を用いることで、断熱近似を開放系に一般化でき、固有状態の代わりに独立に進化するリンドブラッド＝ジョルダンブロックが導入される。