[論文レビュー] Consistency Problems for Jump-Diffusion Models

Erhan Bayraktar, Li Chen+1 more|ArXiv.org|Jan 23, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、一般化されたヘイズ・ジャロウ・モーガン（HJM）フレームワークをマークド点過程を組み込む形で拡張することで、多因子ジャンプ・ディフュージョン金利構造モデルの整合性条件を確立する。アフィンジャンプ・ディフュージョンモデルの必要十分条件を導出し、正則性条件下でネルソン・シーゲルのフォワードレート曲線と整合する非自明なジャンプ・ディフュージョンモデルは存在しないことを証明する。

ABSTRACT

In this paper consistency problems for multi-factor jump-diffusion models, where the jump parts follow multivariate point processes are examined. First the gap between jump-diffusion models and generalized Heath-Jarrow-Morton (HJM) models is bridged. By applying the drift condition for a generalized arbitrage-free HJM model, the consistency condition for jump-diffusion models is derived. Then we consider a case in which the forward rate curve has a separable structure, and obtain a specific version of the general consistency condition. In particular, a necessary and sufficient condition for a jump-diffusion model to be affine is provided. Finally the Nelson-Siegel type of forward curve structures is discussed. It is demonstrated that under regularity condition, there exists no jump-diffusion model consistent with the Nelson-Siegel curves.

研究の動機と目的

• 金利構造モデルにおける多因子ジャンプ・ディフュージョンモデルの整合性条件の欠如に応えること。
• 等価局所マルティンゲール測度の下でのドリフト条件を導出することにより、ジャンプ・ディフュージョンモデルと一般化されたHJMフレームワークの間のギャップを埋めること。
• 状態変数に関してアフィンであるジャンプ・ディフュージョンモデルが満たすべき必要十分条件を特定すること。
• ジャンプ・ディフュージョンモデルがネルソン・シーゲル型フォワードレート曲線と整合可能かどうかを調査すること。
• 正則性条件下で、ネルソン・シーゲル構造と整合する非自明なジャンプ・ディフュージョンモデルは存在しないことを確立すること。

提案手法

• ブラウン運動およびマークド点過程によって駆動されるジャンプ・ディフュージョンモデルに、一般化されたHJMドリフト条件（補題1.1）を適用する。
• 伊藤の補題を用いて、区分的連続路を持つジャンプ・ディフュージョン状態過程の下でのフォワードレートダイナミクスを導出する。
• ジャンプの影響をモデル化するために、変換された確率測度N′とその補償器L(Xt−, dξ) = λ(Xt)Q(Xt, dξ)を導入する。
• 等価マルティンゲール測度の下でフォワードレートのドリフトがHJM条件（1.3）を満たすように要求することにより、一般の整合性条件を導出する。
• フォワードレート関数G(τ, x)にアフィンおよび2次形式を仮定することで、分離可能な金利構造モデルを分析する。
• 多項式展開とモーメントマッチング技術を用いてネルソン・シーゲル族を分析し、拡散成分とジャンプ成分が消える場合を除き矛盾が生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多因子ジャンプ・ディフュージョンモデルが一般化されたHJMフレームワークと整合するための必要十分条件は何か？
• RQ2 どのような条件下でジャンプ・ディフュージョンモデルが状態変数に関してアフィンとなるか？
• RQ3 ジャンプ・ディフュージョンモデルはネルソン・シーゲルの金利構造のフォワードレートを再現可能か？
• RQ4 ネルソン・シーゲル曲線は、金利構造モデルのドリフト、拡散、およびジャンプ成分にどのような制約を課えるか？
• RQ5 正則性条件下で、ネルソン・シーゲル族と整合する非自明なジャンプ・ディフュージョンモデルは存在するか？

主な発見

• アフィン性のための必要十分条件が導出され、その条件は拡散行列a(x)がゼロで、ジャンプ測度Qがゼロで退化しているか、またはジャンプ強度λ(x)が消える必要があることである。
• ネルソン・シーゲル族と整合させるためには、拡散成分が恒等的にゼロ（a ≡ 0）でなければならない。これは、拡散的ランダムネスが存在しないことを意味する。
• 整合性を保つためには、ジャンプ測度Qがゼロにおけるディラック測度で、またはジャンプ強度λ(x)がゼロでなければならない。これにより、非自明なジャンプが排除される。
• 非自明なジャンプ・ディフュージョンモデル（非ゼロの拡散および非退化ジャンプを有するもの）は、ネルソン・シーゲルのフォワードレート曲線構造と整合できない。
• 整合性条件（4.3）は、Qがゼロにおけるディラック測度でない限り、τに関する関数方程式に簡略化され、拡散行列がゼロで、ジャンプ測度が退化するように強制される。
• 分析により、提示された正則性仮定の下で、ネルソン・シーゲル族はいかなる非退化ジャンプ・ディフュージョンダイナミクスとも不整合であることが示された。