[論文レビュー] Consistency Strengths of Modified Maximality Principles

George Leibman|ArXiv.org|Jun 3, 2004

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、ccc、コーエン、≤κ-戦略的閉じたフォーシングなどの特定のフォーシングクラスに制限された修正最大化原理（MPΓ）の整合性強度を、反復フォーシングとモーダル論理を用いて調査する。MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）のような原理が、強い基数が≤κ-戦略的閉じたフォーシングの下で不変であるという大基数仮定を必要とすることを示しており、これらの原理は、ウッドリン基数や射影的決定性を含む理論と同等の高い整合性強度を持つことが示された。

ABSTRACT

The Maximality Principle MP is a scheme which states that if a sentence of the language of ZFC is true in some forcing extension V^P, and remains true in any further forcing extension of V^P, then it is true in all forcing extensions of V. A modified maximality principle MP_Gamma arises when considering forcing with a particular class Gamma of forcing notions. A parametrized form of such a principle, MP_Gamma(X), considers formulas taking parameters; to avoid inconsistency such parameters must be restricted to a specific set X which depends on the forcing class Gamma being considered. A stronger necessary form of such a principle, Box MP_Gamma(X), occurs when it continues to be true in all Gamma forcing extensions. This study uses iterated forcing, modal logic, and other techniques to establish consistency strengths for various modified maximality principles restricted to various forcing classes, including CCC, COHEN, COLL (the forcing notions that collapse ordinals to omega),

研究の動機と目的

• ccc、コーエン、≤κ-戦略的閉じたフォーシングなどの特定のフォーシングクラスに制限された修正最大化原理（MPΓ）の整合性強度を特定すること。
• パラメータがフォーシングクラスΓに関連する集合Xからとられる、これらの原理のパrametrized版MPΓ(X)を分析すること。
• 最大化原理の必要性形□MPΓ(X)の必要性を検討し、大基数公理との関係におけるその整合性強度を評価すること。
• 強い基数κが≤κ-戦略的閉じたフォーシングの下で不変であるモデルにおいて、MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）が成立することを確立すること。
• 初等部分モデルと反復フォーシングの役割が、これらの原理を満たすモデルを構成するうえで果たす役割を調査すること。

提案手法

• フォーシング拡大を可能な世界として解釈するモーダル論理を用い、アクセスビリティをフォーシング関係で定義することで、S4モーダル論理フレームワークを構築する。
• 特にδ-反復≤κ-戦略的閉じたフォーシングノーションを用いた反復フォーシング構成を適用し、大基数性質を保存する。
• 強力に必要とされる文（◇□φ）の概念を用い、その文を原理のスキーム ◇□φ → □φ を通じて最大化原理に関連付ける。
• 初等部分モデル技術（例：Vδ ≺ V および Vδ[G] ≺ V[G]）を用いて、フォーシング拡大における反映性と閉包性を維持する。
• 特定のフォーシングクラスの下で強い基数の不変性を達成するために、ロトゥリー準備（Lottery Preparation）技術を適用する。
• δ-cc性質を用いて基数と共終性を保存することで、すべての強力に必要とされる文がすでに必要であることを保証し、MPΓ(X)が成立する一般化拡大を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 cccフォーシングに実数パラメータを含むMPccc(R)の整合性強度は何か？
• RQ2 必要性形□MPccc(R)は、特にω₁が実数に対して不変であるという点で、宇宙の構造にどのような影響を与えるか？
• RQ3 強い基数κが≤κ-戦略的閉じたフォーシングの下で不変であるモデルにおいて、MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）が成立するための大基数仮定は何か？
• RQ4 特定の順序数を崩壊させるか、特定の基数構造を保存するフォーシングクラスΓに対して、最大化原理MPΓ(X)が一貫して満たされる可能性はあるか？
• RQ5 MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）の整合性強度と、Vδ ≺ Vおよびδが不変である強い基数の存在との関係は何か？

主な発見

• MPccc(R)は、ω₁が実数に対して不変であるモデルのZFCの下で一貫的であり、□MPccc(R)はω₁が実数に対して不変であることを示唆する。
• 強い基数κが≤κ-戦略的閉じたフォーシングの下で不変であるモデルにおいて、MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）が成立する。これは、Vδ ≺ V、δが不変であり、κ < δであるモデルの存在を仮定すれば成立する。
• MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）の整合性強度は、強い基数がVδ ≺ Vおよびδが不変であるという条件を満たすものによって上界で抑えられ、強い基数にマーロ基数が存在するという条件によって下界で抑えられる。
• MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）を満たすモデルを構成するためのフォーシング反復はδ-ccである。この性質によりδが保存され、最終的な拡大においてδがκ⁺⁺になる。
• この構成により、強い基数がすでに関連するフォーシングクラスの下で不変であるモデルの一般化拡大において、MP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）を強制的に成立させられることを示した。
• 論文は、強い基数が不変である状態でMP≤κ-戦略的閉じ（H(κ⁺⁺)）の整合性強度が、理論ZFC + 'κ strong' + Vδ ≺ V + 'δ inaccessible' + κ < δと同等であると予想している。