[論文レビュー] Consistent Inversion of Noisy Non-Abelian X-Ray Transforms

François Monard, Richard Nickl+1 more|arXiv (Cornell University)|May 2, 2019

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 31被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ノイズあり離散測定値 CΦ ∈ SO(n) からの非アーベルX線変換の行列場 Φ : M → so(n) の再構成を目的とし、ガウス過程事前分布と無限次元MCMCを用いたベイズ統計的逆問題手法を提案する。頻度主義的一致性が確立され、滑らかな Φ に対して、後期平均が L²(M)-ノルムで N⁻ᵝ の代数的収束速度を示すことが示され、収束率 β > 0 は滑らかさと次元に依存する。これは、逆写像 CΦ → Φ に対する新たな定量的安定性評価を前提としている。

ABSTRACT

For $M$ a simple surface, the non-linear statistical inverse problem of recovering a matrix field $Φ: M o \mathfrak{so}(n)$ from discrete, noisy measurements of the $SO(n)$-valued scattering data $C_Φ$ of a solution of a matrix ODE is considered ($n\geq 2$). Injectivity of the map $Φ\mapsto C_Φ$ was established by [Paternain, Salo, Uhlmann; Geom.Funct.Anal. 2012]. A statistical algorithm for the solution of this inverse problem based on Gaussian process priors is proposed, and it is shown how it can be implemented by infinite-dimensional MCMC methods. It is further shown that as the number $N$ of measurements of point-evaluations of $C_Φ$ increases, the statistical error in the recovery of $Φ$ converges to zero in $L^2(M)$-distance at a rate that is algebraic in $1/N$, and approaches $1/\sqrt N$ for smooth matrix fields $Φ$. The proof relies, among other things, on a new stability estimate for the inverse map $C_Φ o Φ$. Key applications of our results are discussed in the case $n=3$ to polarimetric neutron tomography, see [Desai et al., Nature Sc.Rep. 2018] and [Hilger et al., Nature Comm. 2018]

研究の動機と目的

• 行列場 Φ の非アーベルX線変換 CΦ の離散的でノイズのある測定値から、統計的に一貫性のある再構成手法を開発すること。
• 逆問題における非アーベルX線変換の明示的再構成公式の欠如に取り組むこと。
• 測定数 N → ∞ の下で、ベイズ的後期平均が真の Φ を回復する理論的一貫性を確立すること。
• ガウス過程事前分布と無限次元MCMCに基づく実装可能なアルゴリズムを提供すること。
• 逆写像 CΦ → Φ に対する新たな定量的安定性評価を導出すること。これは収束速度の証明に不可欠である。

提案手法

• 行列場 Φ : M → so(n) に対してガウス過程事前分布を用いたベイズ枠組みを採用し、逆問題の正則化を行う。
• 無限次元マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）法を用いて後期分布および後期平均推定値を計算する。
• 逆写像 CΦ → Φ に対する新規安定性評価を導入し、散乱データ CΦ の L²(∂+SM) の誤差が Φ の L²(M) の誤差にどのように伝播するかを定量的に評価する。
• ソボレフ空間上の補間不等式を用いて、散乱データと再構成場の正則性を橋渡しする。
• 測定数 N の増加に伴う後期測度の集中バインディングと安定性評価を組み合わせることで収束速度を導出する。
• 測定値の地図を geodesic レイ積分をモデル化する前向き演算子を用いて離散化された領域で数値的に検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズあり離散測定値からの非アーベルX線変換 CΦ の行列場 Φ の再構成において、ベイズ統計的アルゴリズムが一貫した回復を達成できるか？
• RQ2 測定数 N が増加する際、後期平均が L²(M) で真の Φ にどの程度の速度で収束するか？
• RQ3 収束解析を支援するため、逆写像 CΦ → Φ に対する定量的安定性評価をどのように確立できるか？
• RQ4 後期収縮速度を真の場 Φ の滑らかさおよびデータのノイズレベルに関連付けることができるか？
• RQ5 無限次元逆問題をMCMC法を用いて実際にどのように実装できるか？

主な発見

• 後期平均推定子 ¯Φ(DN) は、N → ∞ の下で確率的に真の Φ₀ に L²(M)-ノルムで収束し、頻度主義的一致性が確立された。
• 収束速度は 1/N の代数的である。具体的には、N⁻ᵝ のオーダーで、β = α/(2α + 2) × (¯β − 1)/¯β である。ここで α > β + 1 かつ ¯β ∈ (1, β) は整数である。
• 滑らかな Φ₀ ∈ Cα(M) で α > 2 の場合、収束速度は N⁻¹ᐟ² に近づき、最適なパrametricレートに一致する。
• 逆写像 CΦ → Φ に対する新たな定量的安定性評価が証明され、有界な C¹ ノルムの下で ∥Φ − Φ₀∥L²(M) ≤ C ∥CΦ − CΦ₀∥H¹(∂+SM) が成り立つ。
• 後期収縮速度が O(δN) であることが示され、δN = N⁻ᵅ/(2α+2) である。このレートはモーメントおよび尾部バインディングを介して後期平均に伝達される。
• 本手法は数値的に検証され、偏光中性子断層撮影（PNT）に応用され、実世界の画像化応用に意義を持つ。