[論文レビュー] Consistent Modeling of VIX and Equity Derivatives Using a 3/2 plus Jumps Model

Jan Baldeaux, Alexander Badran|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、株価指数にジャンプを組み込んだ3/2確率的ボラティリティ過程を用いることで、株式およびVIXデリバティブを一貫して価格付け可能な3/2プラスジャンプモデルを提案する。このモデルは、解析的扱いが可能でありながら、VIXオプションにおける上行りのインプライド・ボラティリティ・スキーと短期株価指数オプションにおけるスマイリを正確に捉えることができ、ジャンプがVIXモデルの一貫性に不可欠であるという一般的な見解に挑戦する。

ABSTRACT

The paper demonstrates that a pure-diffusion 3/2 model is able to capture the observed upward-sloping implied volatility skew in VIX options. This observation contradicts a common perception in the literature that jumps are required for the consistent modelling of equity and VIX derivatives. The pure-diffusion model, however, struggles to reproduce the smile in the implied volatilities of short-term index options. One remedy to this problem is to augment the model by introducing jumps in the index. The resulting 3/2 plus jumps model turns out to be as tractable as its pure-diffusion counterpart when it comes to pricing equity, realized variance and VIX derivatives, but accurately captures the smile in implied volatilities of short-term index options.

研究の動機と目的

• 株式およびVIXデリバティブを一括して価格付け可能でありながら、解析的扱いを維持する簡潔なモデルの構築を目的とする。
• ジャンプがVIXオプションの一貫性のあるモデル化に本当に必要であるかどうかを検証し、一般的な文献の仮定に挑戦することを目的とする。
• 3/2確率的ボラティリティモデルにジャンプを追加することで、短期株価指数オプションのインプライド・ボラティリティに適合する性能を向上させることを目的とする。
• 提案されたフレームワーク下でVIX・ファワードおよびオプションの準閉形式価格設定式を導出することを目的とする。
• 3/2プラスジャンプモデルが、市場で観察されるボラティリティ・パターンのフィットにおいて、純拡散型3/2モデルや他の同等のモデルを上回ることを実証することを目的とする。

提案手法

• 株価指数のダイナミクスを、株価にのみジャンプを含む3/2確率的ボラティリティ過程としてモデル化する。
• 標準的なVIXの定義式を用いて、実現ボラティリティとインデックスの積分ボラティリティを関連づけ、VIXを実現分散の関数として定義する。
• 逆3/2過程（逆平方根過程）の遷移密度を用いて、時間経過に伴う分散の分布を表現する。
• Zhang-Zhuの公式を適用し、分散分布上の期待値の割引合計としてVIX・ファワードおよびオプションの公正価格を計算する。
• 非中心カイ二乗分布に関する既知の結果を活用し、分散過程の遷移密度を解析的に表現する。
• 複合ポアソン過程を用いてジャンプを導入することで、ジャンプリスクが存在する場合の閉形式表現を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 純拡散型3/2モデルは、VIXオプションで観察される上行りのインプライド・ボラティリティ・スキーを再現できるか？
• RQ2 株価にジャンプを含めることで、解析的扱いを損なわせることなく、短期株価指数オプションのインプライド・ボラティリティに適合する能力が向上するか？
• RQ3 3/2プラスジャンプモデルは、解析的効率を保ちながら、株式およびVIXデリバティブを一貫して価格付け可能か？
• RQ4 3/2プラスジャンプモデルは、類似の複雑性を持つ他のモデルと比較して、市場で観察されるボラティリティ・スフィアにどの程度適合するか？
• RQ5 3/2フレームワークにジャンプを組み込んだ場合、株価指数のダイナミクスから一貫してVIXを導出可能か？モデルの一貫性を保証できるか？

主な発見

• 純拡散型3/2モデルは、VIXオプションにおける上行りのインプライド・ボラティリティ・スキーを成功裏に再現でき、この特徴がジャンプなしでは再現できないという考えに反する。
• 3/2プラスジャンプモデルは、純拡散型3/2モデルと比較して、短期株価指数オプションのインプライド・ボラティリティに適合する性能が向上し、観察されたスマイリを捉えている。
• Zhang-Zhuの公式と既知の遷移密度を活用することで、VIX・ファワードおよびオプションの準閉形式価格設定式を維持している。
• 3/2モデルにおける分散過程の遷移密度は、解析的に扱えるものであり、逆数を取ると非中心カイ二乗分布に従う。
• 株価にジャンプを含めても、モデルの解析的扱いが損なわれず、計算効率が保たれている。
• 3/2プラスジャンプモデルは、株式およびVIXデリバティブの共同価格設定において、より簡潔かつ経験的に正確な代替手段を提供する。