[論文レビュー] Consistent Pricing of VIX and Equity Derivatives with the 4/2 Stochastic Volatility Plus Jumps Model

Wei Lin, Shenghong Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、Hestonモデルと3/2モデルの特徴を組み合わせた4/2確率的ボラティリティモデルにジャンプを導入し、$ a\sqrt{V_t} + b/\sqrt{V_t} $ の形をとるボラティリティ過程を採用することで、株式およびVIXデリバティブの一貫性ある価格設定を可能にする。Lie対称性を用いて、関連するジョイントフーリエ・ラプラス変換の閉形式解を導出し、Heston、3/2、Black-Scholesモデルと比較して、VIX先物およびオプションの価格設定において優れた予測性能を達成した。

ABSTRACT

In this paper, we develop a 4/2 stochastic volatility plus jumps model, namely, a new stochastic volatility model including the Heston model and 3/2 model as special cases. Our model is highly tractable by applying the Lie symmetries theory for PDEs, which means that the pricing procedure can be performed efficiently. In fact, we obtain a closed-form solution for the joint Fourier-Laplace transform so that equity and realized-variance derivatives can be priced. We also employ our model to consistently price equity and VIX derivatives. In this process, the quasi-closed-form solutions for future and option prices are derived. Furthermore, through adopting data on daily VIX future and option prices, we investigate our model along with the Heston model and 3/2 model and compare their different performance in practice. Our result illustrates that the 4/2 model with an instantaneous volatility of the form $(a\sqrt{V_t}+b/\sqrt{V_t})$ for some constants $a, b$ presents considerable advantages in pricing VIX derivatives.

研究の動機と目的

• Hestonおよび3/2モデルを拡張しつつも解析的取り扱いの容易さを保つ統一的な確率的ボラティリティモデルの開発を目的とする。
• インスタンタス・バリアンスを1/2および3/2項の重ね合わせとしてモデル化することで、株式およびVIXデリバティブの価格設定の一貫性を実現することを目的とする。
• Lie対称性理論を用いて、モデルのジョイントフーリエ・ラプラス変換の閉形式解を導出することを目的とする。
• 4/2モデルのVIX先物およびオプションの価格設定性能を、Heston、3/2、Black-Scholesモデルと比較して実証的に評価することを目的とする。
• 市場のダイナミクスを的確に捉える能力を評価する観点から、モデルの予測精度およびロバストネスの出荷外性能を検証することを目的とする。

提案手法

• インスタンタス・バリアンスが $ dV_t = \kappa(\theta - V_t)dt + (a\sqrt{V_t} + b/\sqrt{V_t})dW_t $ の形をとる4/2確率的ボラティリティモデルにジャンプを導入し、Heston（1/2）および3/2ダイナミクスを統合する。
• モデルに関連するFokker-Planck偏微分方程式にLie対称性理論を適用し、ジョイント特性関数の閉形式解を導出する。
• 導出された変換を用いて、逆フーリエ・ラプラス変換により株式オプション、VIX先物、VIXオプションの価格を算出する。
• 2014年3月の日次VIX先物およびオプションデータを用いてモデルをキャリブレーションし、インサンプルデータからのパラメータ推定を実施する。
• 推定されたパラメータを用いて2014年3月14日の価格を予測する出荷外テストを実施し、評価のためのARPE（平均相対価格誤差）を算出する。
• インサンプルおよび出荷外データにおいて、Black-Scholes、Heston、3/2、4/2モデルの間でARPE（平均相対価格誤差）を用いたモデル性能の比較を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hestonおよび3/2ダイナミクスを統合した統一的確率的ボラティリティモデルは、株式およびVIXデリバティブの両方を一貫して価格設定可能か？
• RQ2 ボラティリティ過程が $ a\sqrt{V_t} + b/\sqrt{V_t} $ の形をとる4/2モデルは、Hestonや3/2モデルと比較してVIXデリバティブの価格設定精度を向上させるか？
• RQ3 Lie対称性を用いて導出された4/2モデルの閉形式解は、デリバティブ価格設定における計算効率および精度をどの程度向上させるか？
• RQ4 4/2モデルは、ベンチマークモデルと比較して、VIXオプションの出荷外価格設定においてどの程度の性能を示すか？
• RQ5 基礎資産のインデックスにジャンプを組み込むことで、モデルの観測されたVIXオプション市場データへのフィット性が向上するか？

主な発見

• 4/2モデルは、全テストモデルの中で最も低い出荷外ARPE（14.55％）を達成し、Heston（15.22％）、3/2（16.36％）、Black-Scholes（30.19％）を著しく上回った。
• 平値オプション（ATM）では、4/2モデルのARPEは14.23％であり、Hestonの8.76％よりは高いが3/2の10.13％よりは低いことから、全体的なロバストネスが優れていることが示された。
• 4/2モデルは、出先のインサイド・オブ・ザ・マネー（ITM）オプションの価格設定において、Hestonおよび3/2モデルと比較して顕著に低い誤差を示した。
• Lie対称性に基づく閉形式解のおかげで、株式および実現ボラティリティ・デリバティブの効率的かつ高精度な価格設定が可能になった。
• 4/2モデルは、市場データと整合する上行りのスケューを的確に捉える能力が著しく向上しており、VIXオプションのインプライド・ボラティリティ・スケューのフィッティングが顕著に改善された。
• 4/2モデルは出荷外テストにおいても強く予測能力を維持しており、インサンプル時と比較してARPEの上昇はわずかにとどまり、過剰適合のリスクが低く、高いロバストネスを示した。