[論文レビュー] Consistent systems of linear differential and difference equations

Reinhard Schäfke, Michael F. Singer|arXiv (Cornell University)|May 9, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 38被引用数 22

ひとこと要約

本稿では、シフト、q-差分、Mahler作用素などを含む一貫性のある線形微分方程式および差分方程式の系を統一的に取り扱う枠組みを確立する。これらの系はゲージ変換を用いて定数係数行列をもつ系に簡約可能であることが示され、一貫性のある系を満たす解は有理関数またはメラモーフィック関数でなければならないという主要な結果が得られる。これにより、コブハムの定理や線形方程式のガロア理論における超超越性の基準といった古典的結果の新たな証明が可能になる。

ABSTRACT

We consider systems of linear differential and difference equations \begin{eqnarray*} \partial Y(x) =A(x)Y(x), \sigma Y(x) =B(x)Y(x) \end{eqnarray*} with $\partial = \frac{d}{dx}$, $\sigma$ a shift operator $\sigma(x) = x+a$, $q$-dilation operator $\sigma(x) = qx$ or Mahler operator $\sigma(x) = x^p$ and systems of two linear difference equations \begin{eqnarray*} \sigma_1 Y(x) =A(x)Y(x), \sigma_2 Y(x) =B(x)Y(x) \end{eqnarray*} with $(\sigma_1,\sigma_2)$ a sufficiently independent pair of shift operators, pair of $q$-dilation operators or pair of Mahler operators. Here $A(x)$ and $B(x)$ are $n imes n$ matrices with rational function entries. Assuming a consistency hypothesis, we show that such system can be reduced to a system of a very simple form. Using this we characterize functions satisfying two linear scalar differential or difference equations with respect to these operators. We also indicate how these results have consequences both in the theory of automatic sets, leading to a new proof of Cobham's Theorem, and in the Galois theories of linear difference and differential equations, leading to hypertranscendence results.

研究の動機と目的

• 異なる作用素（シフト、q-差分、Mahler作用素など）を含む関数が同時に線形微分方程式および線形差分方程式を満たすという既存の結果を統一的かつ一般化すること。
• シフト、q-差分、またはMahler作用素を含む一貫性のある系のメラモーフィックおよび有理関数解を特徴付けること。
• ゲージ変換を用いて一貫性のある線形方程式系を単純な定数係数形に還元するための枠組みを確立すること。
• これらの結果を応用して超超越性定理を証明し、自動列理論におけるコブハムの定理の新たな証明を提示すること。

提案手法

• 微分作用素δY = AYと差分作用素σY = BYの間に一貫性条件を導入し、合成に関して整合性を保証する。
• ゲージ変換Y = G(x)Zを用いて、定数係数行列˜A ∈ gl_n(C)および˜B ∈ GL_n(C)をもつより単純な形の系に還元する。
• 0および∞以外の特異点はすべて「明白な特異点」であり、局所解はC\{0}の普遍被覆上にメラモーフィックに解析接続可能であることを示す。
• 0および∞における正則特異点の性質により、有理関数係数のメラモーフィックなゲージ行列G(x)を構成可能であることを証明する。
• ブロック行列の分解とバリエーションの議論を用いて、非定数係数をもつ系を正のバリエーションを持つ系に還元し、正則特異点の性質を示す。
• 帰納法とブロック下三角化技術を用いて、一貫性制約のもとで係数行列の非対角成分を段階的に消去する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シフト、q-差分、またはMahler作用素に関して線形微分方程式および線形差分方程式を満たす関数が、いつ有理関数またはメラモーフィック関数になるのか、どのような条件下か？
• RQ2 一貫性のある線形微分方程式および差分方程式の系を、定数係数行列をもつ系に変換する方法は何か？
• RQ3 一貫性仮定のもとで、係数行列に現れる構造的性質（例：正則特異点、明白な特異点）は何か？
• RQ4 一貫性条件は、特に成長性やモノドロミーの観点から、解の形にどのような制約を課えるか？
• RQ5 本枠組みは、2つのq-差分作用素や2つのMahler作用素を含む複数の独立な差分作用素を持つ系へ拡張可能か？

主な発見

• 有理関数係数をもつ一貫性のある線形微分方程式および差分方程式の系の任意の解は、log xのリーマン面上で有理関数またはメラモーフィック関数である。
• ゲージ変換Y = G(x)Zを用いることで、定数係数行列˜A ∈ gl_n(C)および˜B ∈ GL_n(C)をもつ系に変換可能である。
• C\{0, ∞}における系のすべての特異点は明白であり、解はC\{0}の普遍被覆上にメラモーフィックに解析接続可能である。
• ゲージ変換に用いられる行列G(x)はC\{0}上でメラモーフィックであり、0および∞における緩やかな成長性により有理関数係数をもつ。
• 一貫性条件により、変換後の系が微分および差分作用素の両方において定数係数構造を保つことが保証される。
• 本結果により、自動列理論におけるコブハムの定理の新たな証明が得られるとともに、線形微分方程式および差分方程式の解に対する超超越性基準が確立される。