[論文レビュー] Constacyclic codes of length $p^sn$ over $\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$

Yonglin Cao, Yuan Cao+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$ \gcd(p,n)=1$ を満たす有限環 $ \mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上における長さ $ np^s$ の $ \lambda$ -定数循環符号の完全な代数的特徴付けを提供する。正規形分解を用いて、明示的な生成子構造、双対符号の表現、およびすべてのこのような符号の列挙を実行し、自己双対な循環、反循環、定数循環符号を含む。その数え上げには閉形式の公式が与えられ、$ \mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上における長さ $ 2\cdot 3^t\cdot 5^s$ の自己双対反循環符号の完全な分類がなされている。本手法は、$p^s$、$2p^s$、$4p^s$ 長さの既存の研究を、$ \gcd(p,n)=1$ を満たす一般の $np^s$ 長さに拡張したものであり、本環上におけるすべての $ \lambda$ -定数循環符号およびその双対符号の統一的かつ明示的なパrametrization が主たる貢献である。

ABSTRACT

Let $\mathbb{F}_{p^m}$ be a finite field of cardinality $p^m$ and $R=\mathbb{F}_{p^m}[u]/\langle u^2 angle=\mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ $(u^2=0)$, where $p$ is a prime and $m$ is a positive integer. For any $λ\in \mathbb{F}_{p^m}^{ imes}$, an explicit representation for all distinct $λ$-constacyclic codes over $R$ of length $p^sn$ is given by a canonical form decomposition for each code, where $s$ and $n$ are positive integers satisfying ${ m gcd}(p,n)=1$. For any such code, using its canonical form decomposition the representation for the dual code of the code is provided. Moreover, representations for all distinct negacyclic codes and their dual codes of length $p^sn$ over $R$ are obtained, and self-duality for these codes are determined. Finally, all distinct self-dual negacyclic codes over $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ of length $2\cdot 5^s\cdot 3^t$ are listed for any positive integer $t$.

研究の動機と目的

• 長さ $ np^s$ の $ \lambda$ -定数循環符号の完全かつ明示的な代数的構造を、$ \gcd(p,n)=1$ を満たす条件下で提供すること。
• 各符号に対して正規形分解を導出し、その生成子の明確で体系的な表現を可能にすること。
• 正規形を用いて、各 $ \lambda$ -定数循環符号の双対符号を明示的に特定し、このクラスの符号に対して双対性理論を拡張すること。
• 環上における長さ $ np^s$ の異なる循環、反循環、$ \lambda$ -定数循環符号の列挙を行い、自己双対な符号を特定すること。
• 任意の正の整数 $ t$ に対して、$ \mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上における長さ $ 2\cdot 3^t\cdot 5^s$ のすべての自己双対反循環符号を明示的に列挙すること。

提案手法

• 本稿は、$u^2=0$ を満たす環 $R = \mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ を用い、有限鎖環として扱い、このような環上における線形符号の既知の構造理論を活用する。
• 各 $ \lambda$ -定数循環符号は、商環 $R[x]/\langle x^{np^s} - \lambda \rangle$ におけるイデアルと同型であることを用いて、問題をイデアル分類に還元する。
• 正規形分解を導入し、各符号を特定の多項式によって生成されるイデアルの直和として表現することで、明示的な生成子の構成を可能にする。
• 本手法は、$\mathbb{F}_{p^m}$ の性質および $R$ の構造、特に $p$-進展開と乗法的位数の性質を用いて、$R[x]$ における $x^{np^s} - \lambda$ の因数分解に依存する。
• 双対符号は、$\lambda$ の逆元と正規形を用いて構成され、補題 1.2（$\gamma$ -定数循環符号の双対は $\gamma^{-1}$ -定数循環符号である）を適用する。
• 列挙のため、$\mathbb{F}_{p^m}[x]$ における $x^{np^s} - \lambda$ の既約因子の数に基づき、$i$ と $p^m$ の累乗の和を含む閉形式の公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 長さ $ np^s$ の $ \lambda$ -定数循環符号の完全な代数的構造は、$ \gcd(p,n)=1$ を満たす条件下でどのように特徴付けられるか？
• RQ2 正規形を用いて、その正規形から双対符号を明示的に表現できるか？
• RQ3 長さ $ np^s$ の $ \lambda$ -定数循環符号の総数は、閉形式の公式で表せるか？
• RQ4 どの $ \lambda$ -定数循環符号が自己双対であり、自己双対な循環および反循環符号は、この枠組みの中でどのように特徴付けられるか？
• RQ5 任意の $t$ に対して、$ \mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上における長さ $ 2\cdot 3^t\cdot 5^s$ のすべての自己双対反循環符号を明示的に列挙できるか？

主な発見

• 本稿は、$ \mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上における長さ $ np^s$ のすべての $ \lambda$ -定数循環符号に対して正規形分解を提供し、その生成子の完全で明示的な表現を可能にする。
• 任意の $ \lambda$ -定数循環符号の双対符号が $ \lambda^{-1}$ -定数循環符号であることが示され、正規形から明示的に導出されている。
• 長さ $ np^s$ の異なる $ \lambda$ -定数循環符号の数について、$N_{(p^m,1,p^s)}^2 N_{(p^m,2,p^s)}$ という閉形式の公式が導出された。ここで、各項は $ \mathbb{F}_{p^m}[x]$ における $x^{np^s} - \lambda$ の因数分解に依存する。
• $\mathbb{F}_5+u\mathbb{F}_5$ 上では、任意の正の整数 $t$ に対して、長さ $ 2\cdot 3^t\cdot 5^s$ のすべての自己双対反循環符号が明示的に列挙されており、その存在と構造が確認されている。
• $\mathbb{F}_{19}+u\mathbb{F}_{19}$ 上における長さ $4\cdot 19 = 76$ の $ \lambda$ -定数循環符号の数は約 $3.79 \times 10^{45}$ に達するが、これは公式の実用的適用性を示している。
• 本手法は、$p^s$、$2p^s$、$4p^s$ 長さに関する先行研究を、$ \gcd(p,n)=1$ を満たす任意の $n$ に一般化し、$ \mathbb{F}_{p^m}+u\mathbb{F}_{p^m}$ 上における定数循環符号の分類における空白を埋めている。