[論文レビュー] Constant higher order mean curvature hypersurfaces in Riemannian spaces

Luis J. Alı́as, Jorge H. de Lira+1 more|ArXiv.org|Nov 20, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体における一定の高階平均曲率をもつコンpactな超曲面を調査し、非ユークリッド空間への対称性の結果を拡張する。境界の幾何構造を分析し、フラックス公式と反転原理を用いることで、双曲空間および球面において、球面的境界をもつようなこのような超曲面が球面キャップでなければならないことを証明しており、ユークリッド空間における先行研究を一般化する。

ABSTRACT

It is still an open question whether a compact embedded hypersurface in the Euclidean space R^{n+1} with constant mean curvature and spherical boundary is necessarily a hyperplanar ball or a spherical cap, even in the simplest case of surfaces in R^3. In a recent paper the first and third authors have shown that this is true for the case of hypersurfaces in R^{n+1} with constant scalar curvature, and more generally, hypersurfaces with constant higher order r-mean curvature, when r>1. In this paper we deal with some aspects of the classical problem above, by considering it in a more general context. Specifically, our starting general ambient space is an orientable Riemannian manifold, where we will consider a general geometric configuration consisting of an immersed hypersurface with boundary on an oriented hypersurface P. For such a geometric configuration, we study the relationship between the geometry of the hypersurface along its boundary and the geometry of its boundary as a hypersurface of P, as well as the geometry of P. Our approach allows us to derive, among others, interesting results for the case where the ambient space has constant curvature. In particular, we are able to extend the previous symmetry results to the case of hypersurfaces with constant higher order r-mean curvature in the hyperbolic space and in the sphere.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間における一定の平均曲率と球面的境界をもつコンパクトな埋め込み超曲面が、必ず球面キャップまたは平らな円板であるかどうかという未解決問題を解消すること。
• ユークリッド空間を超えて双曲空間および球面を含めた非ユークリッド空間への、一定のr-平均曲率超曲面の対称性結果を一般化すること。
• 超曲面の境界、その支持超曲面P上の境界、および周囲の多様体の曲率との間の幾何的関係を確立すること。
• 空間形式（Rⁿ⁺¹、Hⁿ⁺¹、Sⁿ⁺¹）において、一定の高階平均曲率と球面的境界をもつコンパクトな超曲面が、球面キャップでなければならないことを証明すること。
• 反転原理を構築し、フラックス公式を用いて非対称な構成を除外することで、対称性仮定の下での一意性を証明すること。

提案手法

• リーマン多様体 M̄ における埋め込み超曲面 M の幾何構造を、境界が超曲面 P 上にあるものとして、ニュートン変換および高階平均曲率を用いて分析する。
• フラックス公式を適用し、境界上でのr次のニュートン変換の積分を、M および P の幾何構造に関連付ける。
• 全測地的球面または超曲面の1パラメータ族を用いた反転原理を用いて、対称性を検出する。
• 横断性およびホモロジー論法を用いて、M ∩ ext(D) の対称性を破る可能性のある成分を除外し、非対称な場合に矛盾が生じることを示す。
• 連続的な球面族 R(t) を構成し、反転プロセスの連続性を用いて、対称性が保存されなければならないことを示す。
• 最大原理および境界 Σ の凸性を用いて、任意の対称性球面が元の超曲面と一致しなければならないことを示し、一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Rⁿ⁺¹ において、一定のr-平均曲率と球面的境界をもつコンパクトな埋め込み超曲面は、必ず球面キャップまたは平らな円板であるか？
• RQ2 ユークリッド空間におけるスカラー曲率および高階平均曲率超曲面の対称性結果を、双曲空間および球面へ拡張できるか？
• RQ3 境界が全測地的超曲面 P 上にあるとき、どのような幾何的条件が、その境界からの対称性を超曲面が引き継ぐかを保証するか？
• RQ4 球面族を通じた反転プロセスが、超曲面の構造を保存し、対称性が破れた場合に矛盾を引き起こす条件は何か？
• RQ5 一定のr-平均曲率の文脈において、フラックス公式は、M の幾何構造、境界 ∂M、および周囲の多様体の曲率の間でどのような関係を示すか？

主な発見

• 球面 Sⁿ⁺¹ および双曲空間 Hⁿ⁺¹ において、一定のr-平均曲率と球面的境界をもつコンパクトな埋め込み超曲面は、必ず球面キャップでなければならない。
• 本稿は、空間形式に属する超曲面 M が、境界 Σ が（n−1）次元の球面であり、M がコンパクトで一定のr-平均曲率をもつ場合、M は Σ の中心を通る任意の超平面に関する反転に関して対称であることを証明している。
• 著者らは、M ∩ P = Σ であり、M が P の一方の閉じた側に完全に含まれることを確立しており、自己交差や境界を越えて延長する成分の存在を除外している。
• 連続的な反転球面族 T(t) を用いて、反転プロセスが対称性球面に到達する場合、M は対称性をもたなければならないことが示され、特定領域に境界点が存在しないことと矛盾する。
• フラックス公式およびホモロジー論法を用いて、M ∩ ext(D) の成分がゼロホモロジーでなければならず、そうでなければ矛盾が生じることを示し、対称性を強制している。
• この結果は、アレクサンドロフの定理を非空境界の場合に一般化し、空間形式において、球面的境界をもつコンパクトで埋め込まれた一定のr-平均曲率超曲面は、球面キャップが唯一の解であることを示している。