[論文レビュー] Constant mean curvature surfaces in $\mathbb{H}^2 imes\mathbb{R}$ with boundary in two parallel planes

Rodrigo B. Soares, Patrícia Kruse Klaser+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$H^2 \times \mathbb{R}$ 内の二つの平行平面に境界を持つ定常平均曲率（CMC）表面の存在および非存在条件を確立する。幾何的バリアとしてH-ノイド、キャタネイド、H-球面キャップを用い、$H \geq 0$ の場合、平面間の距離と境界曲線が特定の曲率および高さ制約を満たすとき、一意的な解が存在することを証明する。特に $H > 1/2$ の場合に特異な挙動を示す。

ABSTRACT

Given $H\in [0,\infty),$ some sufficient conditions for existence of CMC $H$ graphs with boundary in two parallel planes of $\mathbb{H}^2 imes\mathbb{R}$ are presented. Height estimates for outwards-oriented CMC surfaces (horo)cyllindrically bounded are also exhibited.

研究の動機と目的

• 積空間 $\rH^2 \times \mathbb{R}$ 内で、境界が二つの平行平面にあるCMC $H$ グラフが存在するための十分条件を確立すること。
• 文献でこれまで取り扱われていなかった $H > 1/2$ の領域におけるCMC表面の挙動を分析すること。
• ホロシリンダリックに有界なCMC表面の高さ推定および非存在結果を提示すること。
• 特定の関数の回転グラフに基づく、H-ノイド、キャタネイド、H-球面キャップの幾何的バリアを構成すること。

提案手法

• 双曲的関数と $H$ を含む積分を用いて定義される、$\rH^2$ におけるCMC方程式の回転対称解としてのH-ノイド関数 ${\rm H\text{-}nod}_r(s)$ を構築する。
• H-ノイドをバリアとして用い、その定義域を $[0, T_H]$ に制限する。ここで $T_H = \infty$（$H \leq 1/2$ 時）、$T_H = \ln\left(\frac{2H+1}{2H-1}\right)$（$H > 1/2$ 時）であり、首半径 $r$ に依存しない。
• Perronの方法およびサブ・スーパー解法を用い、H-ノイド、キャタネイド（$H=0$ 時）、H-球面キャップに基づくバリアを導出する。
• 境界条件を、$\rH^2$ 内で $Q_H(u) = 0$ となるDirichlet問題により課す。ここで $u = h$ は $\rhd$ 上、$u = 0$ は $\rhd$ 上であり、$\rhd$ は境界曲線の射影で囲まれたアニュラー領域を表す。
• 接点原理を用いて非存在を証明：高さ $h > h_H$ のスラブ内にあるCMC表面がホロシリンダリック表面と一致しなければならないため、矛盾が生じる。
• H-ホロシリンダーフォリエーションとH-ノイドの反転対称性を用い、$r < r^*$ となる適切なH-ノイドが存在する場合、$h > 2\max{\rm H\text{-}nod}_{r^*}$ のとき非存在を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$H \geq 0$ のCMC $H$ グラフが、$\rH^2 \times \mathbb{R}$ 内で二つの平行平面に境界を持つのか？
• RQ2 H-ノイドのようなCMCバリアの挙動は、$H > 1/2$ 時にどのように変化するのか？ その結果、存在性にどのような影響を与えるか？
• RQ3 ホロシリンダリックに有界なCMC表面に対して、どのような高さ推定を導出できるか？
• RQ4 CMC表面が $\rH^2 \times \mathbb{R}$ のスラブ内にある場合、平均曲率 $H$ とスラブ高さ $h$ を用いて非存在結果を確立できるか？
• RQ5 境界曲線 $\rhd$ および $\rhd$ の内部および外部の円条件が、CMCグラフのDirichlet問題の可解性にどのように影響するか？

主な発見

• $H \leq 1/2$ 時、境界曲線間の距離 $d$ が $\cosh(r + d/2) \leq \cosh(r) + \frac{\sinh(r)}{2H}$ を満たし、$h \leq \max\left\{ \text{cat}_r(d), \frac{2Hd}{\sqrt{\coth^2(r) - 4H^2}} \right\}$ を満たす場合に存在が保証される。後者の項は $\coth^2(r) > 4H^2$ のときのみ有限である。
• $H > 1/2$ 時、存在には $R \leq T_H = \ln\left(\frac{2H+1}{2H-1}\right)$ および $h \leq \frac{4H}{\sqrt{4H^2 - 1}} \arctan\left(\sqrt{\frac{1 - 4H^2 \tanh^2\left(\frac{T_H - d}{2}\right)}{4H^2 - 1}}\right)$ が必要であり、$T_H$ は首半径 $r$ に依存しない。
• H-ノイドの定義域長さ $T_H$ は内半径 $r$ に依存しないため、H-ノイドの垂直勾配点間の距離は首のサイズに比例してスケーリングされない。
• H-球面キャップは、H-ノイドの $r \to 0$ での極限として得られ、明示的な初等関数形を有するため、存在条件に暗黙的に利用可能である。
• 高さ $h > h_H$（$h_H$ はH-ホロシリンダの高さ）のとき、非存在が証明される。これは $B \times [0, h_H]$ をH-ホロスフィア表面でフィルターし、接点原理を適用することで得られる。
• $H > 1/2$ 時、適切な半径 $r < r^*$ のH-ノイドが存在し、表面 $M$ から内側から接する場合、$h > 2\max{\rm H\text{-}nod}_{r^*}$ のとき非存在が成立する。