[論文レビュー] Constant mean curvature surfaces in sub-Riemannian geometry

Robert K. Hladky, Scott D. Pauls|ArXiv.org|Aug 17, 2005

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 12被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、垂直剛性を持つsub-Riemann多様体における一定平均曲率（CMC）超曲面の変分的枠組みを構築し、適応接続を導入し、明示的なEuler-Lagrange方程式を導出する。最小および等周超曲面が特徴的点を除いて一定の水平平均曲率条件を満たすことを証明し、新たな水平第二基本形式 $II_0$ を導入。最小超曲面は水平正の曲率を持つ点を持たず、Carnot群において局所的に水平幾何的凸でないことを示す。

ABSTRACT

We investigate the minimal and isoperimetric surface problems in a large class of sub-Riemannian manifolds, the so-called Vertically Rigid spaces. We construct an adapted connection for such spaces and, using the variational tools of Bryant, Griffiths and Grossman, derive succinct forms of the Euler-Lagrange equations for critical points for the associated variational problems. Using the Euler-Lagrange equations, we show that minimal and isoperimetric surfaces satisfy a constant horizontal mean curvature conditions away from characteristic points. Moreover, we use the formalism to construct a horizontal second fundamental form, $II_0$, for vertically rigid spaces and, as a first application, use $II_0$ to show that minimal surfaces cannot have points of horizontal positive curvature and, that minimal surfaces in Carnot groups cannot be locally horizontally geometrically convex. We note that the convexity condition is distinct from others currently in the literature.

研究の動機と目的

• Heisenberg群のような特定のケースを除き、sub-Riemann幾何における一定平均曲率超曲面を分析するための一般的手法の欠如に対処すること。
• Riemann幾何およびユークリッド幾何からの変分法を、Carnot群やMartinet型空間を含む広範なクラスの垂直剛性を持つsub-Riemann多様体へと拡張すること。
• 最小および等周超曲面を、新たな幾何的不変量である水平第二基本形式 $II_0$ を用いて特徴付けること。
• 水平幾何的凸性（hg-凸性）という新しい概念を確立し、Carnot群において最小超曲面が局所的にhg-凸集合を境界に持てないことを証明すること。

提案手法

• 垂直剛性を持つsub-Riemann空間に特化した新しい適応接続を導入し、一貫した変分法的計算を可能にする。
• Bryant, Griffiths, および Grossmanの変分的枠組みを応用し、面積および体積汎関数の臨界点に対する簡潔なEuler-Lagrange方程式を導出する。
• 水平分布における曲率と凸性を分析するための主要な幾何的対象として、水平第二基本形式 $II_0$ を定義する。
• 適応接続と $II_0$ を用いて、水平接平面内の曲線の水平曲率を第二基本形式および平均曲率に関連付ける。
• Riemann計量および左不変ベクトル場を用いて水平加速度 $\ddot{c}_0(t)$ を計算し、$\langle \nabla_{\dot{c}}\dot{c}, v_0 \rangle$ と関連付ける。
• 水平凸性の幾何的基準を、$\ddot{c}_0(0)$ の符号を水平法線方向 $e_0$ に対して分析することによって確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 sub-Riemann多様体における最小周囲または固定体積を囲む最小周囲の超曲面は、偏微分方程式を満たすか？
• RQ2 sub-Riemann空間における最小および等周問題の解は、幾何学的に特徴付けられるか？
• RQ3 水平曲率および第二基本形式は、最小およびCMC超曲面の幾何にどのように寄与するか？
• RQ4 新しい水平幾何的凸性の概念は、Carnot群における既存の凸性概念とどのように関係するか？
• RQ5 適応接続と $II_0$ を用いて、最小超曲面が局所的に水平凸でないという事実を厳密に証明できるか？

主な発見

• 垂直剛性を持つsub-Riemann空間における最小および等周超曲面は、特徴的点を除いて一定の水平平均曲率条件を満たす。
• 水平第二基本形式 $II_0$ は適切に定義されており、水平分布における曲率と凸性を分析する幾何的道具として有効である。
• 最小超曲面は水平正の曲率を持つ点を持たない。これは $II_0$ が半正定値であるとき $\ddot{c}_0(0)$ の非負性により示される。
• Carnot群における最小超曲面は、局所的に水平幾何的凸な集合を境界に持てない。これは $\ddot{c}_0(0)$ の符号条件により証明される。
• 水平幾何的凸性（hg-凸性）は、Danielli, Garofalo, および Nhieu が定義した集合的凸性とは異なり、文献に登場する他の凸性条件からも導かれない。
• 適応接続を用いることで、ユークリッドおよびRiemann幾何の結果をsub-Riemann幾何へ一般化し、曲率および変分解析を簡素化する。