[論文レビュー] Constant $μ$-scalar curvature Kähler metric -- formulation and foundational results

Eiji Inoue|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2019

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量とケーラー・リッチソリトンを統一する枠組みとして$\mu$-スカラー曲率を導入し、モーメント写像の構成により両者を一般化する。基礎的な結果を確立し、新しい$\mu$-Kエネルギー関数および$\mu$-体積関数を定義し、$\mathbb{C}P^1$および$\mathbb{P}_{\Sigma}(L\oplus\mathcal{O})$上に$\lambda \geq 0$に対して$\mu^\lambda$-cscK計量の存在を示し、ケーラー・リッチソリトンから極値計量へつなぐ連続的経路を構成する。

ABSTRACT

We introduce mu-scalar curvature for a K"ahler metric with a moment map mu and start up a study on constant mu-scalar curvature K"ahler metric as a generalization of both cscK metric and K"ahler-Ricci soliton and as a continuity path to extremal metric. We study some fundamental constraints to the existence of constant mu-scalar curvature K"ahler metric by investigating a volume functional as a generalization of Tian-Zhu's work, which is closely related to Perelman's W-functional. A new K-energy is studied as an approach to the uniqueness problem of constant mu-scalar curvature and as a prelude to new K-stability concept.

研究の動機と目的

• 定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量とケーラー・リッチソリトンを、$\mu$-スカラー曲率を用いて統一的な枠組みに一般化すること。
• $\mu$-cscK計量の一意性を扱うために、新しい$\mu$-Kエネルギー関数を定式化すること。
• 存在制約のための道具として、および$\mu$-K安定性への前触れとしての$\mu$-体積関数を導入すること。
• ケーラー・リッチソリトンと極値計量をつなぐ、$\mu$-cscK計量を介した連続的経路を構成すること。

提案手法

• $\theta$ を正則ベクトル場$\xi^J$の$\bar{\partial}$-ハミルトニアンポテンシャルとするとき、$\mu$-スカラー曲率$s_\xi(\omega)$を$s(\omega) + \Box\bar\theta + (\Box\bar\theta - \xi^J\theta)$として定義する。
• ドナルドソン＝フジキのモーメント写像の図式を用いて、$\mu$-スカラー曲率をバクリ＝エメリー曲率の複素版のトレースとして解釈する。
• ペレルマンの$\mathcal{W}$-関数と密接に関連する、ティアン＝チウの体積関数の変種を導入し、$\mu$-cscK計量の存在に関する制約を導出する。
• $C^{1,1}$-正則性まで拡張可能なケーラー潜在関数の空間に、新しい$\mu$-Kエネルギー関数を定義し、一意性の研究に用いる。
• $\varphi_\chi$ が $\varphi'(-m) = 1$ および境界条件を満たす常微分方程式の解析を通じて、$\mathbb{C}P^1$および$\mathbb{P}_\Sigma(L\oplus\mathcal{O})$上に明示的解を構成する。
• $\mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$ 上で、$\lambda \to -\infty$（極値）から$\lambda \to 0^+$（ケーラー・リッチソリトン）へ至る$\mu^\lambda$-cscK計量の連続的経路を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mu$-スカラー曲率は、cscK計量とケーラー・リッチソリトンを一つの幾何的枠組みで統一できるか？
• RQ2 $\mu$-cscK計量の存在に必要な制約は何か？ そして、体積関数と曲率不変量とはどのように関係するか？
• RQ3 $\mu$-cscK計量を介して、ケーラー・リッチソリトンと極値計量の間の連続的経路をどのように構成できるか？
• RQ4 $\mu$-Kエネルギー関数は、$\mu$-cscK計量の一意性問題において果たす役割は何か？
• RQ5 $\mu$-cscK計量はトーリック多様体や射影バンドル上で明示的に構成可能か？ また、パrameterの変化に伴う挙動はいかなるものか？

主な発見

• $\mu$-スカラー曲率$s_\xi(\omega)$は、$\theta$ を正則ベクトル場$\xi^J$の$\bar{\partial}$-ハミルトニアンポテンシャルとするとき、$s(\omega) + \Box\bar\theta + (\Box\bar\theta - \xi^J\theta)$として定義され、cscKおよびケーラー・リッチソリトン条件を両方一般化する。
• $X = \mathbb{C}P^1$ に対して、すべての$\lambda > \lambda_{\text{freeze}}$ に対して、$2\pi(F + mB)$ のケーラー類に$\mu^\lambda$-cscK計量が存在し、$\lambda > 0$ のときcscKでないため、この構成の非自明性が示される。
• $\mathbb{P}_\Sigma(L\oplus\mathcal{O})$ 上では、すべての$\lambda \geq 0$ に対して$\mu^\lambda$-cscK計量が存在し、$\lambda \to -\infty$ の極限で$\mu^0$-cscKから極値計量へ連続的経路が形成され、ケーラー・リッチソリトンと結びつく。
• $\lambda > 0$ のとき$\mu$-体積関数は正則であり、その第二変分公式は$\mu$-cscK計量の存在に関する制約を与える。
• $\mu$-Kエネルギー関数は$C^{1,1}$-ポテンシャル上に正しく定義され、$\mu$-cscK計量の一意性の研究に有用な道具である。
• $X = \mathbb{C}P^2\#\overline{\mathbb{C}P^2}$ に対して、$\lambda \in (-\infty, 0)$ に対して$\mu^\lambda$-cscK計量が存在し、$\lambda \to -\infty$ のとき極値計量に、$\lambda \to 0^+$ のとき$\mu^0$-cscK計量に近づく。これにより、ケーラー・リッチソリトンと極値計量をつなぐ連続的経路が確認される。