[論文レビュー] Constant-sized robust self-tests for states and measurements of unbounded dimension

Laura Mančinska, Jitendra Prakash+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2021

Quantum Information and Cryptography被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、定数サイズの相関関係を用いて次元が無限大の可能性を持つ量子状態および測定のロバストな自己テストを可能にする、革新的な代数的枠組みを提示する。Gowers–Hatami定理をC*-代数へ一般化することで、恒等演算子のスカラー倍に合計する射影に基づく特定の量子戦略が、任意の奇数次元における最大もつれ状態および高ランクの射影測定をロバストに自己テストできることを証明した。これは、次元が無限大で、かつ奇数次元の最大もつれ状態および高ランク測定のための、初めての定数サイズの自己テストである。

ABSTRACT

We consider correlations, $p_{n,x}$, arising from measuring a maximally entangled state using $n$ measurements with two outcomes each, constructed from $n$ projections that add up to $xI$. We show that the correlations $p_{n,x}$ robustly self-test the underlying states and measurements. To achieve this, we lift the group-theoretic Gowers-Hatami based approach for proving robust self-tests to a more natural algebraic framework. A key step is to obtain an analogue of the Gowers-Hatami theorem allowing to perturb an "approximate" representation of the relevant algebra to an exact one. For $n=4$, the correlations $p_{n,x}$ self-test the maximally entangled state of every odd dimension as well as 2-outcome projective measurements of arbitrarily high rank. The only other family of constant-sized self-tests for strategies of unbounded dimension is due to Fu (QIP 2020) who presents such self-tests for an infinite family of maximally entangled states with even local dimension. Therefore, we are the first to exhibit a constant-sized self-test for measurements of unbounded dimension as well as all maximally entangled states with odd local dimension.

研究の動機と目的

• 群論的制約を回避する一般化されたロバストな自己テストの枠組みを構築すること。
• 既存の自己テスト手法がしばしば特異的技法や群表現に依存するという限界を克服し、常に適用可能ではない点を解決すること。
• 恒等演算子のスカラー倍に合計する射影を含む量子戦略のロバストな自己テストを確立し、次元が無限大のシステムの認証を可能にすること。
• このような相関関係が、任意の奇数次元における最大もつれ状態および次元が無限大のランクを持つ2出力射影測定を両方自己テストできることを示すこと。
• このような自己テスト相関関係を生成する構成的技法を提示し、作用素代数における摂動論を用いてそのロバスト性を証明すること。

提案手法

• 群論的Gowers–Hatamiアプローチを、群表現の代わりに非アーベル代数の表現を用いるC*-代数的枠組みへと拡張する。
• 次元 $ d \times d $ のヒルベルト空間上での $ n $ 個の射影 $ p_{n,x} $ を定義し、それらが $ xI_d $ に合計するように $ x $ を選ぶ。ここで、射影は局所ユニタリ変換を除いて一意に定まるようにする。
• 関連する代数に対するGowers–Hatami定理の代数的類似を証明し、任意の $ \epsilon $-近似表現が正確な表現に摂動可能であることを示す。
• 射影が生成する代数の構造を用いて、測定演算子および状態ベクトルの標準形を導出する。
• $ n=4 $ の具体例を構築し、$ \widetilde{P}_{1}, \dots, \widetilde{P}_{4} $ が $ \frac{8}{5}I_5 $ に合計することにより、自己テスト相関関係が得られることを示す。
• ユニタリ変換およびゼロ空間分解の逐次適用により、最終的な射影行列 $ \widetilde{P}_{2,v} $ を導出し、それらが $ \frac{8}{5}I_5 $ に合計し、必要な代数的関係を満たすことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元が無限大の量子状態および測定のロバストな自己テストが、システムの次元に依存しない定数サイズの相関関係のみを用いて達成可能か？
• RQ2 Gowers–Hatami定理を群表現から、量子相関関係に由来するC*-代数の表現へ一般化することは可能か？
• RQ3 恒等演算子のスカラー倍に合計する射影から得られる相関関係が、奇数次元の最大もつれ状態および高ランク射影測定の両方をロバストに自己テストできるか？
• RQ4 群の対称性に依存せずに、群に基づかない量子ゲームにも適用可能な自己テストが可能か？
• RQ5 次元が無限大のシステムに対して自己テスト相関関係を生み出す、スカラー倍に合計する射影の明示的構成は何か？

主な発見

• 本稿は、恒等演算子のスカラー倍に合計する4つの射影からなる構成により、次元が無限大のランクを持つ測定のための、初めての定数サイズのロバストな自己テストを確立した。
• 量子相関関係 $ p_{4,x} $ が $ x = \frac{8}{5} $ のとき、任意の奇数次元の局所次元における最大もつれ状態をロバストに自己テストできることを証明した。
• 恒等演算子 $ \frac{8}{5}I_5 $ に合計する明示的な $ 5 \times 5 $ 射影行列 $ \widetilde{P}_{2,1}, \dots, \widetilde{P}_{2,4} $ を構築し、自己テスト相関関係の基盤を形成した。
• Gowers–Hatami定理をC*-代数へと拡張する一般化された代数的枠組みを提供し、群に基づくアプローチを超えたロバストな自己テストを可能にした。
• 本フレームワークにより、任意に高いランクを持つ2出力射影測定の自己テストが可能となり、これは定数サイズの自己テストにおいて以前に達成されていなかった特徴である。
• 結果として、群の対称性を持たない量子系を含む、より広範なクラスの量子系に対しても、デバイスインデペンデントな認証の適用範囲が拡張された。