[論文レビュー] Constantes de Seshadri du diviseur anticanonique des surfaces de del Pezzo

Amaël Broustet|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、滑らかなデル・ペッツォ表面のすべての点における双対 canonical デルタのセーシャドリ定数を計算し、それが点の位置が有理曲線に対して相対的であることに依存することを示している。$ r \leq 5 $ の場合、一般点では定数は 2、それ以外では 1 である。$ r = 6 $ の場合、それぞれ $ 3/2 $ と 1 である。$ r = 7 $ の場合、それぞれ $ 4/3 $ と 1 である。$ r = 8 $ の場合、最大 12 個の特別な点では $ 1/2 $ であり、それ以外では 1 である。計算は有理曲線に依存しているが、論文は有理曲線だけでは常に canonical バンドルの正性を検出できないことを示している。

ABSTRACT

We compute in this note the Seshadri constants of the anticanonical bundle at every point of Del Pezzo surfaces. During the proof, we enlight the role of rational curves in our computations. We present then two exemples where the positivity of the anticanonical bundle cannot be detected using rational curves.

研究の動機と目的

• 滑らかなデル・ペッツォ表面のすべての点における canonical バンドルのセーシャドリ定数を計算すること。
• これらの表面におけるセーシャドリ定数の計算における有理曲線の役割を明確にすること。
• 有理曲線が canonical バンドルの完全な正性を検出できない場合があることを示すこと。
• 吹き増し点の配置に応じたセーシャドリ定数の明示的値を提供すること。
• すべての有理曲線と正の交差を持つにもかかわらず、canonical バンドルが nef でも pseudoeffective でもない表面の反例を構成すること。

提案手法

• 点を通過する既約曲線に対するセーシャドリ定数の定義を用いる：$ \varepsilon(D;x) = \inf_{x\in C} \frac{D\cdot C}{\operatorname{mult}_x C} $。
• デル・ペッツォ表面では $ r \leq 8 $ の場合、canonical デルタが非常に豊富であることを利用して、$ \varepsilon(-K_S;x) \geq 1 $ を保証すること。
• 線形システム $ V(d;r_1x_1,\dots,r_nx_n) $ の次元推定を用いて、所定の多重度を持つ曲線の存在を保証すること。
• 一般位置条件の下で 8 点を通る smooth な立方曲線の存在を示すデムジエの定理を適用すること。
• 漸近的挙動の分析のため、線形システム $ |3mE_0 - mE_1 - \cdots - mE_8 - (m-1)E_9| $ を用いて有理曲線を構成すること。
• 文献 [GLS] の補題を用いて、セーシャドリ定数が有理曲線の列に沿った比の極限として到達可能であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなデル・ペッツォ表面における canonical バンドルのセーシャドリ定数の正確な値は、すべての点でどのように決まるか？
• RQ2 点の位置（一般点対特別点）が canonical デルタのセーシャドリ定数にどのように影響するか？
• RQ3 有理曲線は、デル・ペッツォ表面における canonical バンドルの正性をどの程度まで検出できるか？
• RQ4 すべての有理曲線と正の交差を持つにもかかわらず、canonical バンドルが nef でも pseudoeffective でもない表面は存在するか？
• RQ5 特定の曲線によって達成されない場合でも、有理曲線の列に沿った比によってセーシャドリ定数を近似できるか？

主な発見

• For $ r \leq 5 $, $ \varepsilon(-K_{X_r};x) = 2 $ at general points and $ 1 $ otherwise.
• For $ r = 6 $, $ \varepsilon(-K_{X_6};x) = 3/2 $ at general points and $ 1 $ otherwise.
• For $ r = 7 $, $ \varepsilon(-K_{X_7};x) = 4/3 $ at general points and $ 1 $ otherwise.
• For $ r = 8 $, $ \varepsilon(-K_{X_8};x) = 1/2 $ at up to 12 special points and $ 1 $ elsewhere.
• The Seshadri constant is not always achieved by a single rational curve when $ r = 8 $, but can be approached as a limit over rational curves.
• There exist rational surfaces where $ -K_X $ is not nef or pseudoeffective, yet $ -K_X \cdot C > 0 $ for all rational curves $ C $.