[論文レビュー] Constrained BSDE and Viscosity Solutions of Variation Inequalities

Shigē Péng, Mingyu Xu|ArXiv.org|Dec 3, 2007

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、制約付きバックワードストキャスティック微分方程式（BSDE）の最小のg上位解と、変分不等式と呼ばれる制約付き非線形放物型PDEの粘性解との間の関係を確立する。存在性は制約付きBSDEを用いて証明され、制約関数のリプシッツ連続性および厳密な単調性条件下で一意性が示される。

ABSTRACT

In this paper, we study the relation between the smallest $g$-supersolution of constraint backward stochastic differential equation and viscosity solution of constraint semilineare parabolic PDE, i.e. variation inequalities. And we get an existence result of variation inequalities via constraint BSDE, and prove a uniqueness result under certain condition.

研究の動機と目的

• 制約付き非線形放物型PDE（変分不等式）の粘性解を制約付きBSDEを用いて確率的表現すること。
• 制約付きBSDEの最小のg上位解を用いて、変分不等式の粘性解の存在を証明すること。
• 制約関数に追加の正則性および単調性条件を課した場合の、制約付きPDEの粘性解の一意性を確立すること。
• リプシッツ関数によって定義される一般の制約集合のケースに、粘性解の確率的解釈を拡張すること。

提案手法

• 制約関数 $\Phi \geq 0$ を用いた制約付きBSDEを定式化し、解 $Y_t^{t,x}$ が $\Phi$ で定義される集合内に留まるように制約を課す。
• 制約を満たすために最小増加過程 $A_t^{t,x}$ を用い、解が制約を支配する最小のg上位解であることを保証する。
• 粘性解理論を適用し、$\alpha \to \infty$ の極限において解 $u_\alpha(t,x) = Y_t^{t,x,\alpha}$ の極限を分析する。ここで $\alpha$ は制約違反に対するペナルティを表す。
• ペナルティ法を用いて、制約付きPDEを $F_\alpha = F_0 + \alpha \Phi^-$ を用いた一連の非制約PDEに近似する。
• ジェット $\mathcal{P}^{2,+}$ および $\mathcal{P}^{2,-}$ の性質と比較原理を用いて、粘性下位解および上位解の条件を検証する。
• 元のPDEの任意の粘性上位解が、ペナルティ付きPDEの上位解でもあるという事実に基づく比較論法を適用し、一意性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制約付きBSDEの最小のg上位解は、対応する変分不等式の粘性解として特徴付けられるか？
• RQ2 BSDEアプローチによって、制約付きPDEの粘性解が存在するための条件は何か？
• RQ3 制約付きPDEの粘性解の一意性を保証するための追加仮定は何か？
• RQ4 ペナルティ法 $F_\alpha = F_0 + \alpha \Phi^-$ は、粘性解の収束とどのように関係するか？
• RQ5 $\Phi$ が $y$ に関して厳密に単調増加であることは、粘性解の一意性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 制約付きBSDEの最小のg上位解は、各 $\alpha$ に対してペナルティ付きPDE $\partial_t u + F_\alpha = 0$ の不連続な粘性上位解であることが示された。
• 極限 $u(t,x) = \lim_{\alpha \to \infty} u_\alpha(t,x)$ は下半連続関数であり、制約 $\Phi \geq 0$ を満たす元の変分不等式 $\partial_t u + F_0 = 0$ を満たす。
• 関数 $u(t,x)$ は、下位解および上位解の両方の条件を満たすため、変分不等式の粘性解であることが証明された。
• 解 $u(t,x)$ は、変分不等式の最小の粘性上位解である。これは、他の任意の粘性上位解が $u$ を支配することを意味する。
• 関数 $g$ が $x$ に関して局所リプシッツ連続でモジュラス $m_R$ を持ち、かつ $\Phi$ が $y$ に関して厳密に増加するという追加仮定のもとで、変分不等式は高々一つの局所有界な粘性解をもつ。
• 一意性は比較論法により確立され、元のPDEの任意の粘性上位解が解 $u(t,x)$ を支配することを示した。ゆえに $u$ は最小かつ一意である。