[論文レビュー] Constrained Monotone Function Maximization and the Supermodular Degree

Moran Feldman, Rani Izsak|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2014

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 30被引用数 28

ひとこと要約

本稿では、k-拡張可能システム制約の下で任意の単調な集合関数を最大化するための、初めて知られる近似アルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、関数の超モodular度に適応する貪欲法に基づくもので、(1−e−1/(d+1))-近似比を達成する。これは、サブモジュラー関数に対するFisher-Nemhauser-Wolseyの結果と、Feige-Izsakの福利厚生最大化結果を一般化したものであり、特殊ケースにおいても近似品質に損失がない。

ABSTRACT

The problem of maximizing a constrained monotone set function has many practical applications and generalizes many combinatorial problems. Unfortunately, it is generally not possible to maximize a monotone set function up to an acceptable approximation ratio, even subject to simple constraints. One highly studied approach to cope with this hardness is to restrict the set function. An outstanding disadvantage of imposing such a restriction on the set function is that no result is implied for set functions deviating from the restriction, even slightly. A more flexible approach, studied by Feige and Izsak, is to design an approximation algorithm whose approximation ratio depends on the complexity of the instance, as measured by some complexity measure. Specifically, they introduced a complexity measure called supermodular degree, measuring deviation from submodularity, and designed an algorithm for the welfare maximization problem with an approximation ratio that depends on this measure. In this work, we give the first (to the best of our knowledge) algorithm for maximizing an arbitrary monotone set function, subject to a k-extendible system. This class of constraints captures, for example, the intersection of k-matroids (note that a single matroid constraint is sufficient to capture the welfare maximization problem). Our approximation ratio deteriorates gracefully with the complexity of the set function and k. Our work can be seen as generalizing both the classic result of Fisher, Nemhauser and Wolsey, for maximizing a submodular set function subject to a k-extendible system, and the result of Feige and Izsak for the welfare maximization problem. Moreover, when our algorithm is applied to each one of these simpler cases, it obtains the same approximation ratio as of the respective original work.

研究の動機と目的

• k-拡張可能システム制約の下で単調な集合関数を最大化する一般化された近似アルゴリズムの開発。
• 既存のサブモジュラー関数最大化および福利厚生最大化の結果を、任意の単調関数へと拡張すること。
• 超モジュラー度（サブモジュラリティからの逸脱の尺度）に応じて、近似比が滑らかに劣化するアルゴリズムの設計。
• サブモジュラー関数または福利厚生最大化の特殊ケースに限定した場合でも、先行研究と同等の近似比を達成し、一般性を損なわないこと。
• Small-Set Expansion Hypothesisの下で、近似比がほぼ最適であることを示す下界結果の確立。

提案手法

• 最適解から導かれる候補集合に基づく、限界利得に応じて反復的に要素を選択する貪欲アルゴリズムの提案。
• 超モジュラー度 d′ を用いて、選択された要素の限界利得をバウンドする、新規の解析技術の導入。
• k-拡張可能システムの性質を活用し、解集合 Sℓ の値を f(S₀) と f(OPT) の項でバウンドする再帰的不等式の使用。
• 各ステップでの最良の限界利得をモデル化するため、D+(u) および候補ペア (u, D+(u) ∩OPT) の概念の導入。
• OPT ∖ S₀ に属する要素に対して、充電法を適用して各反復における改善の下界を導出。
• 近似比が 1−e−1/(d′+1) 以上であることを証明し、これは小さな加法的要因を除いてタイトである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブモジュラー関数または福利厚生最大化問題に適用した場合、性能を犠牲にすることなく、先行研究と同等の近似比を達成できる単一のアルゴリズムは存在するか？
• RQ2 k-拡張可能システムの一般設定において、超モジュラー度 d′ は近似比にどのように影響するか？
• RQ3 任意の単調な集合関数に対して、k-拡張可能制約のもとで、関数の複雑さに応じて滑らかに劣化する貪欲アルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ4 Small-Set Expansion Hypothesisの下で、この問題クラスに対して達成可能な最良の近似比は何か？
• RQ5 超モジュラー度は、異なる関数クラスにわたる近似保証を統一する意味のある複雑度尺度として用いられるか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズムは、k-拡張可能システム制約の下で単調な集合関数を最大化する際、(1−e−1/(d′+1))-近似比を達成する。
• サブモジュラー関数（d′=0）に特化した場合、Fisher, Nemhauser, および Wolsey の (1−1/e)-近似比を回復する。
• 福利厚生最大化問題に対しては、Feige と Izsak が得た (1/(d+2))-近似比と一致する。ここで d は超モジュラー度である。
• 超モジュラー度が増加するに従い、アルゴリズムの性能が滑らかに劣化するため、非サブモジュラーな摂動に対して頑健であることが示された。
• 下界結果として、Small-Set Expansion Hypothesisの下では、任意の多項式時間アルゴリズムが 1−e−1/(d+1) よりも良い近似比を達成できないことが示された。
• サブモジュラー関数や福利厚生最大化問題の特殊ケースに適用した場合、アルゴリズムは先行研究と同等の近似保証を維持しており、一般性を犠牲にしないことが証明された。