[論文レビュー] Constrained Polynomial Zonotopes

Niklas Kochdumper, Matthias Althoff|arXiv (Cornell University)|May 18, 2020

Advanced Combinatorial Mathematics被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、非凸集合表現としての制約付き多項式ゾノトープ（CPZ）を導入する。CPZは、線形写像、ミンコフスキー和、積集合、和集合、および高次写像を含む広範な集合演算に対して閉じており、計算複雑度が多項式時間である。主な貢献は、ゾノトープ、多面体、テイラー型、楕円体を一般化する統一的表現を提供することであり、制御および検証応用における効率的かつ正確な集合ベース計算を可能にする。

ABSTRACT

We introduce constrained polynomial zonotopes, a novel non-convex set representation that is closed under linear map, Minkowski sum, Cartesian product, convex hull, intersection, union, and quadratic as well as higher-order maps. We show that the computational complexity of the above-mentioned set operations for constrained polynomial zonotopes is at most polynomial in the representation size. The fact that constrained polynomial zonotopes are generalizations of zonotopes, polytopes, polynomial zonotopes, Taylor models, and ellipsoids, further substantiates the relevance of this new set representation. The conversion from other set representations to constrained polynomial zonotopes is at most polynomial with respect to the dimension.

研究の動機と目的

• 制御および検証における基本的集合演算を正確かつ効率的に計算できる非凸集合表現の開発。
• ゾノトープ、多面体、テイラー型、楕円体といった既存の集合表現を統一的フレームワークで統合すること。
• 二次およびそれ以上の高次写像を含むすべての演算が、表現サイズに対して多項式時間で閉じており、計算可能であることを保証すること。
• 他の表現（例：ゾノトープ、多面体）からCPZへの変換を、多項式時間複雑度で実現できること。
• 実用的な高次元集合ベース計算における応用を可能にする、サイズ削減および外部近似技術の提供。

提案手法

• CPZをコンactなパrametric形式 ⟨c, G, E, A, b, R⟩_CPZ で表現する。ここで、cは中心、GとEは多項式項を定義し、AとRは制約を定義し、bは制約ベクトルである。
• 変数の置換と二項定理の展開を用いて、有界な変数 αᵣ ∈ [l,u] を補助変数 α̂ᵣ ∈ [−1,1] に変換し、制約付き範囲の正確な表現を可能にする。
• 変換された生成子と制約行列を用いて、構造を保持したまま特定の変数を範囲内に隔離するための部分集合演算を適用する。
• スケーリングされた単項式 (v₁(1 + v₂α̂ᵣ))ⁿ の二項係数展開を用いて、新たな生成子行列 Ĝᵢ と制約行列 Âᵢ を導出する。
• 表現サイズの縮小と演算後の正規形の維持のため、compactGen および compactCon 操作を用いる。
• 部分集合演算および compact 操作を用いて、他の表現（例：ゾノトープ、多面体）から CPZ への変換を多項式時間で実現可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形写像、ミンコフスキー和、積集合、和集合、および高次写像に対して閉じた非凸集合表現を設計可能か？
• RQ2 このような表現において、すべての基本的集合演算が多項式時間で計算可能であるか？
• RQ3 ゾノトープ、多面体、テイラー型、楕円体といった既存の集合型を一般化できるか？
• RQ4 正確性と演算の閉包性を保ちつつ、表現サイズを最小化する方法は何か？
• RQ5 他の表現からこの新しい形式への変換が多項式時間複雑度で実現可能か？

主な発見

• 制約付き多項式ゾノトープ（CPZ）は、線形写像、ミンコフスキー和、カルテシアン積、凸包、積集合、和集合、および二次およびそれ以上の高次写像に対して閉じている。
• CPZ上のすべての集合演算の計算複雑度は、表現サイズに対して常に多項式時間以内であり、スケーラブルな計算を可能にする。
• この表現は、ゾノトープ、多面体、多項式ゾノトープ、テイラー型、楕円体を一般化し、複数の集合型を統一する。
• 他の表現（例：ゾノトープ、多面体）からCPZへの変換は、次元に対して多項式時間で可能である。
• 実用的な高次元問題における応用を可能にする、効率的なサイズ削減および外部近似技術が提供されている。
• 部分集合演算により、CPZ内の有界変数の正確な変換が可能であり、二項展開および行列再パラメータ化により構造が保持される。