[論文レビュー] Constrained Risk Budgeting Portfolios: Theory, Algorithms, Applications & Puzzles

Jean-Charles Richard, Thierry Roncalli|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Risk and Portfolio Optimization参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ポートフォリオ重量制約がある中で、リスク寄与度が事前に定義された予算に従って割り当てられるようにする、理論的に整合的で計算的に効率的な制約付きリスク予算配分ポートフォリオの構築フレームワークを開発する。非凸で制約付きの問題を解くために、対数バリア関数を用いた新規な最適化定式化と、サイクリック・コORDINATE デセント（CCD）、ADMM、Dykstraのアルゴリズムといった高度な数値アルゴリズムを提案する。また、リスク測度の同次性の重要性と、この性質と矛盾する制約がもたらす「スケーリングパズル」の核心的役割を強調する。

ABSTRACT

This article develops the theory of risk budgeting portfolios, when we would like to impose weight constraints. It appears that the mathematical problem is more complex than the traditional risk budgeting problem. The formulation of the optimization program is particularly critical in order to determine the right risk budgeting portfolio. We also show that numerical solutions can be found using methods that are used in large-scale machine learning problems. Indeed, we develop an algorithm that mixes the method of cyclical coordinate descent (CCD), alternating direction method of multipliers (ADMM), proximal operators and Dykstra's algorithm. This theoretical body is then applied to some investment problems. In particular, we show how to dynamically control the turnover of a risk parity portfolio and how to build smart beta portfolios based on the ERC approach by improving the liquidity of the portfolio or reducing the small cap bias. Finally, we highlight the importance of the homogeneity property of risk measures and discuss the related scaling puzzle.

研究の動機と目的

• 制約付きリスク予算配分ポートフォリオの数学的構造を形式化し、重量制約のため、事前リスク予算が正確に達成されないことを明らかにすること。
• CCD、ADMM、プロキシマル作用素、Dykstraのアルゴリズムを統合した、数値的に安定でスケーラブルなアルゴリズムフレームワークを構築し、大規模ポートフォリオ最適化に適応すること。
• 一貫性のあるリスク測度の同次性と矛盾する制約が生じる際の「スケーリング適合パズル」を解消すること。
• トータル・ルーテーション制御、流動性の向上、小規模株式へのバイアス低減といった、リスクベースポートフォリオにおける実用的応用を示すこと。
• 制約下でのERC（等リスク寄与度）アプローチの拡張における理論的・数値的課題を明確にし、一意性と安定性を保証すること。

提案手法

• 制約付きリスク予算配分問題を対数バリア関数を用いた最適化として定式化：リスク測度 R(x) を最小化し、制約条件として ∑bi ln xi ≥ κ および x ≥ 0 を満たす。
• 不等式制約を処理するため、ラグランジュ乗数法とバリア関数を組み合わせ、リスク予算配分条件を最適化の地形に埋め込む。
• サイクリック・コORDINATE デセント（CCD）を用い、1変数ずつ順次最適化することで収束性とスケーラビリティを向上させる。
• 交替方向乗数法（ADMM）を統合し、複雑な制約下でも解きやすい部分問題に問題を分解する。
• 滑らかでない、または非凸な制約を扱うために、プロキシマル作用素とDykstraのアルゴリズムを適用し、特にボックス制約や点制約の下で有効に機能する。
• 二分探索を用いてラグランジュ乗数 λ をキャリブレーションし、妥当性を確保するとともにラグランジアン関数を最小化し、潜在的な局所最適解の中から最適解を選択する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重量制約があるポートフォリオにおいて、事前リスク予算が事後リスク寄与度と一致しないため、リスク予算配分をどのように意味的に拡張できるか？
• RQ2 一意性と数値的安定性を保証する、制約付きリスク予算配分問題の正しい数学的定式化は何か？
• RQ3 現代の最適化技術を用いて、複雑な制約を伴う大規模で非凸なリスク予算配分問題をどのように効率的に解けるか？
• RQ4 なぜ制約付きリスク予算配分問題の数値的解法は初期値に依存するのか？また、局所最適解への収束の原因は何か？
• RQ5 リスク測度の同次性が制約の適合性に与える影響は何か？そして、これが「スケーリングパズル」を引き起こす理由は何か？

主な発見

• リスク寄与度と予算の二乗誤差の和を最小化するという標準的な定式化は、不適切で非凸的であり、数値的不安定性と一意でない解を引き起こす。
• 正しい定式化は、リスク予算制約を最適化問題に埋め込むために対数バリア関数を用いることで、一意的かつ安定した解を保証する。
• CCD、ADMM、プロキシマル作用素、Dykstraのアルゴリズムを統合した本手法は、大規模なポートフォリオと複雑な制約下でも高いスケーラビリティとロバストネスを達成する。
• 制約がリスク測度の同次性と矛盾する場合、複数の局所最適解が存在しうるが、最適解はラグランジアン関数値を最小化することで選択される。
• 数値実験では、表12の第1および第3のポートフォリオが最適であり、それぞれボラティリティが5.20%および5.98%、ラグランジアン値が13.29%および10.68%で、最低水準に達した。
• 制約のない資産ではERC性質が保たれるが、制約のある資産は等リスク寄与度から逸脱するため、リスクベース投資において制約設計を注意深く行う必要がある。