[論文レビュー] Constrained systems and the Clairaut equation

Steven Duplij|ArXiv.org|Apr 17, 2008

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ヘッセ行列が退化する場合の制約付きハミルトニアン系におけるラグランジアンの取り扱いを、クラレー方程式の解法としてハミルトニアン構成を定式化することにより、一般化されたルジャンドル＝クレロー変換を提案する。この手法により、ラグランジュ乗数を用いずに、自然にディラックの一次的制約を生成する自己同型変換が得られ、クラレー方程式の混合包あらわし一般解を通じて、正則および特異な場合を統一的に扱う。

ABSTRACT

An extension of the Legendre transform to non-convex functions with vanishing Hessian as a mix of envelope and general solutions of the Clairaut equation is proposed. Applying this to systems with constraints, the procedure of finding a Hamiltonian for a degenerate Lagrangian is just that of solving a corresponding Clairaut equation with a subsequent application of the proposed Legendre-Clairaut transformation. In this way the unconstrained version of Hamiltonian equations is obtained. The Legendre-Clairaut transformation presented is involutive. We demonstrate the origin of the Dirac primary constraints, along with their explicit form, and this is done without using the Lagrange multiplier method.

研究の動機と目的

• 標準的なルジャンドル変換の代わりにクラレー方程式を用いることで、ヘッセ行列が消える非凸および退化ラグランジアンのハミルトニアン形式を再定式化すること。
• ラグランジュ乗数を用いずに、クラレー方程式の構造からディラックの一次的制約を内因的に導出すること。
• クラレー方程式の混合解（包あらわし解と一般解）を用いて、凸性に依存しない、特異な場合へのルジャンドル変換の拡張を図ること（正則な運動量変数では包あらわし解、非正則（解けない）運動量変数では一般解）。
• 制約付き系において、ラグランジアンとハミルトニアンの間で自己同型な変換を確立し、一貫性と可逆性を保証すること。
• 全ハミルトニアンをクラレー方程式の混合解として扱うことで、正則および特異系を統一的な枠組みで扱うこと。

提案手法

• 正則な運動量変数における包あらわし解からハミルトニアンが得られるように、ルジャンドル変換をクラレー方程式の解として定式化する。
• クラレー方程式の混合解を導入する：正則な運動量では包あらわし解、非正則（解けない）運動量では一般解とし、これにより一次的制約に対応する。
• ヘッセ行列が消える場合でも、ラグランジアン関数とハミルトニアン関数の間で自己同型な写像をなす一般化されたルジャンドル＝クレロー変換を定義する。
• 運動量写像の逆写像を復元するための条件 $ \mathbf{v}_1 = \frac{\partial \mathcal{H}^{Cl}}{\partial \mathbf{p}_1} $ を用い、非制約ラグランジアンを再構成する。
• 混合ハミルトニアンを $ \mathcal{H}^{Cl}_{(\mathbf{q})\text{mixed}} = \mathcal{H}^{(0)}_{(\mathbf{q})}(\mathbf{p}_1) + \mathbf{C}_{2(\mathbf{q})} \cdot \boldsymbol{\Phi}_{(\mathbf{q})}(\mathbf{p}) $ として構成する。ここで $ \mathcal{H}^{(0)} $ は非正則変数に依存しない。
• 運動量写像が互いに可逆である限り、二度ルジャンドル＝クレロー変換を適用することで元のラグランジアンが回復することを示すことにより、自己同型性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヘッセ行列が消える非凸および退化ラグランジアンを扱うために、標準的なルジャンドル変換をどのように一般化できるか？
• RQ2 ディラックの一次的制約は、ラグランジュ乗数を導入せずに、クラレー方程式の構造から自然に出現するのか？
• RQ3 クラレー方程式の混合解（包あらわし解＋一般解）は、制約付きハミルトニアン系の記述において果たす役割は何か？
• RQ4 提案されたルジャンドル＝クレロー変換は、元のラグランジアン系の力学をどのように保存するのか？
• RQ5 一般化されたルジャンドル＝クレロー変換は自己同型的であるか？ これにより、ラグランジアンとハミルトニアンの定式化の間で一貫した双対性が保証されるか？

主な発見

• 一般化されたルジャンドル＝クレロー変換は、ヘッセ行列が消える場合でも、クラレー方程式を解くことにより退化ラグランジアンに対するハミルトニアンを一貫して構成する手法を提供する。
• ディラックの一次的制約は、クラレー方程式の一般解における任意定数として自然に出現し、ラグランジュ乗数を用いることなく得られる。
• クラレー方程式の混合解（正則変数では包あらわし解、非正則変数では一般解）は、制約付き系の全ハミルトニアンを生成する。
• 提案されたルジャンドル＝クレロー変換は自己同型的である：運動量写像が互いに可逆であれば、二度変換を適用することで元のラグランジアンが回復する。
• 得られたハミルトニアンの運動方程式は、制約を明示的に課さない場合でも、元のラグランジアンの運動方程式と等価である。
• この手法により、正則系と特異系が同一の枠組みで統一され、標準的なルジャンドル変換は包あらわし解に対応し、全ハミルトニアンは混合解に対応する。