[論文レビュー] Constraint Coupled Distributed Optimization: a Relaxation and Duality Approach

Ivano Notarnicola, Giuseppe Notarstefano|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Metal-Organic Frameworks: Synthesis and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、制約結合型凸最適化問題に対する完全分散型アルゴリズムを提案する。リラクゼーションと双対性理論を活用し、平均化を必要とせずに各エージェントが局所最適解を計算可能である。単純な局所最適化と線形更新により、漸近的プライマル妥当性とグローバル最適解への収束を保証し、理論的保証とマイクログリッドMPCの事例研究による検証を実施する。

ABSTRACT

In this paper we consider a general, challenging distributed optimization set-up arising in several important network control applications. Agents of a network want to minimize the sum of local cost functions, each one depending on a local variable, subject to local and coupling constraints, with the latter involving all the decision variables. We propose a novel fully distributed algorithm based on a relaxation of the primal problem and an elegant exploration of duality theory. Despite its complex derivation, based on several duality steps, the distributed algorithm has a very simple and intuitive structure. That is, each node finds a primal-dual optimal solution pair of a local, relaxed version of the original problem, and then updates suitable auxiliary local variables. We prove that agents asymptotically compute their portion of an optimal (feasible) solution of the original problem. This primal recovery property is obtained without any averaging mechanism typically used in dual decomposition methods. To corroborate the theoretical results, we show how the methodology applies to an instance of a Distributed Model Predictive Control scheme in a microgrid control scenario.

研究の動機と目的

• すべてのエージェントの変数を含む結合制約を有する分散最適化問題を解く課題に対処すること。
• 中央集権的調整や平均化機構に依存せずに、各エージェントがグローバル最適解のうち自身の部分を計算できる完全分散型アルゴリズムを開発すること。
• 新規のリラクゼーションと双対性フレームワークを通じて、最適コストへの収束とプライマル妥当性を理論的に確立すること。
• マイクログリッドにおける協調的分散モデル予測制御（MPC）を含む実世界の応用で手法を検証すること。

提案手法

• アルゴリズムはプライマル問題のリラクゼーションに基づく。元の結合問題を双対性を用いて分散解法に適した形に変換する。
• 各エージェントは、自身の目的関数と局所制約を用いて、局所的リラクゼーション問題を解き、プライマル・双対最適ペアを求める。
• 補助変数（双対乗数）は、他のエージェントが結合制約に与える寄与を追跡する類似合意の線形更新により更新される。
• 双対変数の収束を保証するため、双対ステップの逐次的適用により、プライマル解が直接回復可能となる解に収束する。
• リラクゼーション戦略により、ペナルティパラメータが正であっても、一時的段階で結合制約の妥当性が達成可能である。
• プライマル変数の平均化を避けるために、プライマル回復を双対更新プロセスに直接埋め込む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中央集権的調整や平均化ステップを必要とせず、完全分散型アルゴリズムが制約結合型凸最適化問題を解くことができるか？
• RQ2 双対性とリラクゼーションをどのように組み合わせることで、分散環境下での双対収束とプライマル妥当性を保証できるか？
• RQ3 補助変数がエージェント間で結合制約への寄与を分散的に追跡するために果たす役割は何か？
• RQ4 提案手法は、グローバル最適コストへの収束と、妥当なプライマル解の回復を達成できるか？
• RQ5 本手法はマイクログリッドにおける分散MPCのような実世界の協調制御シナリオでどのように性能を発揮するか？

主な発見

• ペナルティパラメータの和が時間とともにゼロに近づき、最適双対解への収束を示している。
• 結合制約の最大違反値は時間経過とともに減少し、正のペナルティパラメータであっても一時的段階で妥当性に達している。
• 分散双対変数は、他のエージェントが結合制約に与える集約的寄与を追跡しており、正確な制約強制を保証している。
• コスト誤差は、サブグラデントベースの手法に予想されるように、サブ線形にゼロに収束し、正規化されたコスト差が反復回数とともに減少している。
• 各エージェントは、プライマル変数の平均化や合意プロトコルを一切必要とせず、グローバル最適解のうち自身の部分を正しく計算している。
• T=12時間スロットの10ユニットマイクログリッドにおける数値結果から、実用的な協調MPC設定下での手法の実現可能性と収束性が確認された。