[論文レビュー] Constraint qualifications and optimality conditions in bilevel optimization

Jane J. Ye|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2019

Optimization and Variational Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、凸および非凸な下位問題を対象として、検証可能な制約条件と最適性条件を、二段階最適化問題に対して開発する。一般化された方程式を用いた鋭い必要最適性条件と、組み合わせた問題における緩和定数正線形従属（RCPLD）条件を導入し、従来の補完制約付き数学計画問題（MPCC）の枠組みを改善する。主な貢献は、価値関数の上界推定に基づく検証可能なM-停留性条件の確立である。

ABSTRACT

In this paper we study constraint qualifications and optimality conditions for bilevel programming problems. We strive to derive checkable constraint qualifications in terms of problem data and applicable optimality conditions. For the bilevel program with convex lower level program we discuss drawbacks of reformulating a bilevel programming problem by the mathematical program with complementarity constraints and present a new sharp necessary optimality condition for the reformulation by the mathematical program with a generalized equation constraint. For the bilevel program with a nonconvex lower level program we propose a relaxed constant positive linear dependence (RCPLD) condition for the combined program.

研究の動機と目的

• 下位問題が非凸であるか、複数のラグランジュ乗数を有する場合に、二段階計画問題を補完制約付き数学計画問題（MPCC）に再定式化する手法に伴う限界を克服すること。
• 非凸な下位問題を有する二段階計画問題に対して、検証可能で確認可能な制約条件（特に緩和定数正線形従属（RCPLD）条件）を構築すること。
• 一般化された方程式制約を有する数学計画問題に再定式化した二段階計画問題に対して、鋭い必要最適性条件を確立すること。
• 正確な価値関数に基づくものより弱く、より広範に適用可能な、価値関数の上界推定に基づく新しいM-停留性条件を提供すること。
• 価値関数のリプシッツ連続性のもとで最適性条件が有効であることを保証し、線形化された錐と正規錐理論を用いてその妥当性を検証すること。

提案手法

• 下位問題のKKT条件を用いて、二段階計画問題を一般化された方程式制約を有する数学計画問題に再定式化する。
• 組み合わせた問題における緩和定数正線形従属（RCPLD）条件を導入し、下位問題ラグランジュ関数の勾配を含むヤコビ行列のランクによって定義する。
• 価値関数アプローチを用いて、集合$W(\bar{x})$による価値関数の極限部分微分の上界推定を用いてM-停留性条件を導出する。
• MPEC線形化錐${\cal L}^{MPEC}$を用いて、再定式化された問題の実行可能領域の接錐を定義する。
• フレシェおよびモルデフチチ正規錐を含む変分解析の道具を用いて、停留性および制約条件を特徴付ける。
• 解点における問題の弱いコヒーレンス性を確立することで、乗数の存在と最適性条件の妥当性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸な下位問題を有する二段階計画問題に対して、検証可能な制約条件を導出可能か？
• RQ2 複数の乗数が存在する場合に非同値性が生じる可能性がある従来のMPCC再定式化を、どのように改善できるか？
• RQ3 一般化された方程式制約を有する数学計画問題に再定式化した二段階計画問題に対して、鋭い必要最適性条件は何か？
• RQ4 価値関数の上界推定に基づくM-停留性条件は、どのような条件下で有効か？
• RQ5 RCPLD条件は、二段階最適化における解の存在と停留性の両者とどのように関係するか？

主な発見

• 行列$J^{*}$のランクが$m+n+r+s-|I_{u}|$に等しいとき、RCPLD条件が成立し、価値関数に基づくM-停留性条件の有効性が保証される。
• 正確な価値関数に基づくものより、上界推定に基づくM-停留性条件は弱く、より広範に適用可能である。
• 最適性条件の検証において、価値関数制約$f(x,y)-V(x)\leq 0$は不要であり、再定式化を簡素化する。
• 価値関数が$\bar{x}$でリプシッツ連続であるとき、RCPLD条件が成立し、M-停留性条件は局所解に対して必要となる。
• MPEC線形化錐${\cal L}^{MPEC}$を用いて、再定式化された問題の実行可能領域の接錐を定義し、停留性条件の導出を可能にする。
• 解点における問題の弱いコヒーレンス性に加え、$W(\bar{x})$のコンパクト性が保証されれば、解は上界推定に基づくM-停留性条件を満たす。