[論文レビュー] Constraints and gauge transformations: Dirac's theorem is not always valid

Julian Barbour, Brendan Foster|ArXiv.org|Aug 8, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 6被引用数 64

ひとこと要約

この論文は、正準量子重力理論における基礎的仮定である「ハミルトニアン制約は物理的変化を生成するのではなく、ゲージ変換のみを生成する」という仮定に挑戦する。再パラメータ化不変系（例：ヤコビの原理）を分析することで、この仮定に依拠するディラックの定理が絶対的時間の仮定がない場合には成立しないことが示され、ハミルトニアン制約が真の物理的進化を生成できることを証明する。

ABSTRACT

A standard tenet of canonical quantum gravity is that evolution generated by a Hamiltonian constraint is just a gauge transformation on the phase space and therefore does not change the physical state. The basis for this belief is a theorem of Dirac that identifies primary first-class constraints as generators of physically irrelevant motions. We point out that certain assumptions on which Dirac based his argument do not hold for reparametrization invariant systems, and show that the primary Hamiltonian constraint of these systems does generate physical motion. We show explicitly how the argument fails for systems described by Jacobi's principle, which has a structure closely resembling that of general relativity. We defer discussion of general relativity and the implications for quantum gravity to a later paper.

研究の動機と目的

• 正準量子重力理論における広く受け入れられている信念、すなわちハミルトニアン制約がゲージ変換のみを生成するという主張に挑戦すること。
• ハミルトニアン進化に絶対的時間パラメータを仮定しているため、ディラックの元々の議論に欠陥が生じることを特定すること。
• 一般相対性理論の作用と数学的に同一の形を持つヤコビの原理に従う再パラメータ化不変系において、ハミルトニアン制約が物理的変化（ゲージ変換ではない）を生成することを示すこと。
• すべての第一級制約がゲージ生成子であると仮定するのではなく、物理的起源に基づいて個別に制約を評価すべきであることを主張すること。
• 一般相対性理論および量子重力理論におけるハミルトニアン制約の役割を再考する基盤を築くこと

提案手法

• 再パラメータ化不変（RI）系の構造を分析し、一般相対性理論の作用と数学的に同一の形を持つヤコビの原理に特に注目する。
• ディラックが第一級制約がゲージ生成子であると証明する際に、絶対的時間パラメータの仮定に依存していることを見出す。この仮定はRI系では成立しない。
• ディラックの議論においてRI系で欠落していた明示的な計算を補完し、ハミルトニアン制約によって生成される正準的進化が物理的に異なる状態を生成することを示す。
• 電磁力学などの標準的ゲージ理論（例：ゲージの法則）におけるハミルトニアンの振る舞いと対比する。ここではゲージ制約が真にゲージ変換を生成する。
• RI系ではハミルトニアンが恒等的にゼロ（H = 0）であるが、進化は自明でないため、物理的内容を示していることを使う。
• 解に現れる任意関数の出現は、本質的にゲージ自由度によるものではなく、初期位置と初期方向が配置空間上に物理的に指定されていることに起因することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般相対性理論のような再パラメータ化不変系において、ディラックの定理（第一級制約がゲージ生成子である）は成り立つか？
• RQ2 時間の絶対性が欠如する系（例：ヤコビの原理）において、ハミルトニアン制約の物理的役割は何か？
• RQ3 再パラメータ化不変系において、第一級かつ一次の制約が物理的変化を生成する理由は何か？
• RQ4 絶対的時間の不在が、このような制約がゲージ変換のみを生成するとするディラックの元々の証明をどのように無効にするのか？
• RQ5 一般相対性理論におけるハミルトニアン制約は、同時にゲージ生成子であり、物理的進化の生成子でもあり得るか？

主な発見

• 絶対的時間が存在しないため、ディラックが第一級制約がゲージ変換を生成すると証明した議論は、再パラメータ化不変系では成立しない。
• 一般相対性理論と構造的に類似したヤコビの原理におけるハミルトニアン制約は、物理的進化を生成するが、ゲージ変換のみを生成するわけではない。
• 制約付き系の解に現れる任意関数の出現は、本質的にゲージ自由度の証拠ではない。これは、初期位置と初期方向が物理的に指定されていることに起因する。
• すべての第一級制約が物理的でない運動を生成するわけではない。その物理的意義は、代数的分類ではなく、背後にある力学的構造に基づいて評価されるべきである。
• 一般相対性理論におけるハミルトニアン制約は、物理的変化の一部を生成する可能性があり、これは量子重力理論における標準的正統思想に挑戦する。
• 量子重力理論における可観測量は、『恒久的』（すなわちハミルトニアン制約と可換な演算子）である必要はない。特に、単純な再パラメータ化不変系ではそうである。