[論文レビュー] Constructible 1-motives and exactness

Simon Pepin Lehalleur|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、noether的で、有限次元的かつ優れたスキーム S 上のコhomological 1-モチーフの可解的モチーフ的 t-構造に対して、引き戻し、ベッチおよびエタール実現関手の t-正確性を確立する。小さな特異点解消の仮定の下で、t-構造がコンパクトな 1-モチーフに制限され、任意の可解的 1-モチーフが、その制限がデリーニュ 1-モチーフとなるような正則部分スキームへの S の分離に帰着可能であることを示す。

ABSTRACT

We prove that arbitrary pullbacks, as well as Betti and étale realisation functors, are t-exact for the constructible motivic t-structure on the category of cohomological 1-motives over a base scheme.

研究の動機と目的

• コhomological 1-モチーフの可解的モチーフ的 t-構造が任意の引き戻しで保存されることを証明すること。
• この t-構造に対してベッチおよびエタール実現関手の t-正確性を確立すること。
• t-構造がコンパクトな 1-モチーフの全部分カテゴリに制限されることを示すこと。
• 任意の可解的 1-モチーフが、その各ストラトムへの制限がデリーニュ 1-モチーフとなるような、基底スキーム S の正則部分スキームへのストラトフィケーションをもつことの証明。
• ヴァイシュのグリューニング手法とは異なる方法を用いて、引き戻しの t-正確性を再証明し、将来的な方法統合の可能性を示すこと。

提案手法

• 特異点解消の仮定の下で、先行研究により構成された、基底スキーム S 上のコhomological 1-モチーフにおけるモチーフ的 t-構造を用いる。
• S の次元に関する帰納法を適用し、Z が次元が低い閉埋め込み i:Z→S であるとき、帰納法の仮定により引き戻し関手 i* が t-正確であることを活用する。
• 開埋め込みおよび閉埋め込みのための局所化列から得られる区別三角形を用いて、モチーフのコホモロジー的切断を分析する。
• 滑らかなモチーフにおける絶対的純粋性を適用し、正則埋め込みに沿った 1-モチーフの !-引き戻しを計算する。正則埋め込みの余次元が c_i であるとき、公式 k_i^!M ≃ k_i^*M(−c_i)[−2c_i] を用いる。
• 特異点解消の仮定の下で ω¹ がコンパクト対象を保存することを用い、1-モチーフに制限するための重み切断関手 ω¹ を適用する。
• デリーニュ 1-モチーフ（格子および半アーベル的スキーム）の構造と、基底変換におけるその挙動を用いて、ストラトフィケーション結果を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コhomological 1-モチーフの可解的モチーフ的 t-構造に対して、任意の引き戻しが t-正確か？
• RQ2 ターゲットカテゴリに標準的 t-構造が備わっているとき、ベッチおよびエタール実現関手は t-正確か？
• RQ3 1-モチーフのモチーフ的 t-構造は、コンパクトな 1-モチーフの部分カテゴリに制限されるか？
• RQ4 任意の可解的 1-モチーフは、その各ストラトムへの制限がデリーニュ 1-モチーフとなるような、S の正則部分スキームへのストラトフィケーションを持つか？
• RQ5 ヴァイシュの t-構造のグリューニング手法とは異なる方法を用いて、t-正確性の結果を証明できるか？

主な発見

• S 上のコhomological 1-モチーフのカテゴリにおけるモチーフ的 t-構造は、コンパクトな 1-モチーフの全部分カテゴリに制限され、制限された t-構造の心が適切に定義されることを確認した。
• S が変形による特異点解消を許す限り、スキームの任意の射に沿った引き戻しは、1-モチーフの可解的モチーフ的 t-構造に対して t-正確である。
• ターゲットカテゴリに標準的 t-構造が備わっているとき、ベッチおよびエタール実現関手は t-正確である。
• 任意の可解的 1-モチーフ M over S に対して、その制限が各ストラトムでデリーニュ 1-モチーフとなるような S の正則部分スキームへのストラトフィケーションが存在する。
• 閉埋め込み i:Z→S に沿った滑らかな可解的 1-モチーフの !-引き戻しは、ω¹i!M ≃ ω¹(k₀* k₀* i*M(−1))[−2] で与えられる。ここで k₀ は Z の余次元 1 部分の包含写像である。
• 固有曲線の境界により誘導される写像 H₀(ω¹∂f_*ℚ[+1]) → ℚ は同型であり、証明の主要段階における t-正確性を示す。