[論文レビュー] Constructible Sheaves and the Fukaya Category

David Nadler, Eric Zaslow|ArXiv.org|Apr 18, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、実解析的多様体 $X$ 上の可 constructible ファイブレーションの導来圏を、余接 bundle $T^*X$ 内の正確なラグランジュ的 brane の twisted complex の三角的 $A_\infty$-圏への準同型埋め込みとして確立する。マイクロ局所幾何学とモース理論に整合する摂動技術を用いて、標準的ファイブレーション対象を関連するラグランジュ的 brane に写像する関手を構成し、特徴的サイクル構成のカテゴリフィケーション版を実現するとともに、Fukaya 圏枠組み内での可 constructible ファイブレーションの幾何的実現を提供する。

ABSTRACT

Let $X$ be a compact real analytic manifold, and let $T^*X$ be its cotangent bundle. Let $Sh(X)$ be the triangulated dg category of bounded, constructible complexes of sheaves on $X$. In this paper, we develop a Fukaya $A_\infty$-category $Fuk(T^*X)$ whose objects are exact, not necessarily compact Lagrangian branes in the cotangent bundle. We write $Tw Fuk(T^*X)$ for the $A_\infty$-triangulated envelope of $Fuk(T^*X)$ consisting of twisted complexes of Lagrangian branes. Our main result is that $Sh(X)$ quasi-embeds into $Tw Fuk(T^*X)$ as an $A_\infty$-category. Taking cohomology gives an embedding of the corresponding derived categories.

研究の動機と目的

• 実解析的多様体 $X$ 上の可 constructible ファイブレーションとその余接 bundle $T^*X$ の Fukaya 圏との間に幾何的ブリッジを確立すること。
• 非コンパクトで正確なラグランジュ的 brane を含み、良好な漸近的挙動を示す Fukaya $A_\infty$-圏 $Fuk(T^*X)$ を定義すること。
• 可 constructible ファイブレーションの導来圏 $D_c(X)$ を Fukaya 圏の三角的包 $TwFuk(T^*X)$ への準同型埋め込みとして構成すること。
• ラグランジュ的多様体の摂動を通じて、モース理論的構成と Fukaya 圏の作用の整合性を示すこと。
• 境界上での内向き／外向きベクトル場の混合挙動を示すラグランジュ的多様体に結びつけることで、tilting な perverse ファイブレーションへの埋め込みを拡張すること。

提案手法

• 余接 bundle $T^*X$ のコンパクト化を定義し、ラグランジュ的多様体がコンパクト化においてサブアナリティック的であることを要請することで、境界が無限遠で Legendrian になるように保証する。
• 漸近的に正規化された測地線フローの摂動を用いて、擬全純円盤のモジュライ空間を制御し、コンパクト性を保証する。
• 部分多様体 $Y \subset X$ 上の定義関数 $m$ と $n$ に関連する微分 1-形式のグラフとして、ラグランジュ的 brane $L_{Y,m}$ を構成する。
• 無限遠近傍における測地線フローに合わせた摂動を整えることで、モース理論的 $A_\infty$-圏と Fukaya 圏の整合性を確立する。
• Fukaya と Oh の定理を適用し、摂動された設定における正則多角形のモジュライ空間をモース圏におけるそれと同一視する。
• 微分形式 $\operatorname{Re}(dz/z^n)$ のような形式に結びつけることで、tilting な perverse ファイブレーションへの埋め込みを拡張する。この形式は境界上での混合内向き／外向き挙動を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実解析的多様体 $X$ 上の可 constructible ファイブレーションの導来圏は、$T^*X$ 内の正確なラグランジュ的 brane の twisted complex の三角的 $A_\infty$-圏に準同型埋め込み可能か？
• RQ2 非コンパクトで正確なラグランジュ的多様体 $T^*X$ において、擬全純円盤のモジュライ空間がコンパクトになるように、体系的に構成・摂動することは可能か？
• RQ3 $X$ 上でのモース理論的構成と $T^*X$ の Fukaya 圏における作用との間には、どの程度の対応関係があるか？
• RQ4 標準的およびコスタンドアーディションの間にある幾何学的性質を示す tilting な perverse ファイブレーションは、どのようにラグランジュ的 brane として実現されるか？
• RQ5 微分作用素 $\mathcal{D}_X$-加群の特徴的サイクルと、提案された埋め込みによるその像との間の正確な幾何的対応関係は何か？

主な発見

• 実解析的多様体 $X$ 上の可 constructible ファイブレーションの導来圏 $D_c(X)$ は、三角的 $A_\infty$-圏 $DFuk(T^*X)$ への自然な準同型埋め込みを有する。
• この埋め込みは、部分多様体 $Y \subset X$ に関連する標準的ファイブレーション対象を、適切に選ばれた関数 $f$ に対する $df$ のグラフとして得られる正確なラグランジュ的 brane $L_{Y,m}$ に写像することで実現される。
• 無限遠近傍での正規化された測地線フローによるラグランジュ的多様体の摂動は、擬全純円盤のモジュライ空間のコンパクト性を保証し、Fukaya 圏の定義を可能にする。
• モース理論的 $A_\infty$-圏 $Mor(X)$ は、埋め込みの像と quasi-isomorphic であることが示され、モース理論と Fukaya 圏の構成の整合性が確認された。
• $X$ 上の tilting な perverse ファイブレーションは、$\operatorname{Re}(dz/z^n)$ のような微分形式に結びつけられるラグランジュ的多様体に対応する。この形式は境界上での混合内向き／外向き挙動を示す。
• 本構成は、特徴的サイクル写像のカテゴリフィケーションを提供し、古典的なマイクロ局所対応を $A_\infty$-圏的レベルにまで拡張する。