[論文レビュー] Constructing a Distance Sensitivity Oracle in O(n^2.5794 M) Time

Yong Gu, Hanlin Ren|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、{1, 2, ..., M} に属する辺重みをもつ有向グラフのための新しい距離感度オラクル（DSO）を提示する。前処理時間は O(n^2.5794 M) で、クエリ時間は定数時間である。この手法は、x^r を法とする次数 d の多項式行列の逆行列を求める新しいアルゴリズムに依存しており、より高速な長方形行列乗算を用いて加速されている。これにより、O(n^2.5286 M) 時間で一意の最短経路計算が可能となり、従来の境界を改善する。

ABSTRACT

We continue the study of distance sensitivity oracles (DSOs). Given a directed graph G with n vertices and edge weights in {1, 2, … , M}, we want to build a data structure such that given any source vertex u, any target vertex v, and any failure f (which is either a vertex or an edge), it outputs the length of the shortest path from u to v not going through f. Our main result is a DSO with preprocessing time O(n^2.5794 M) and constant query time. Previously, the best preprocessing time of DSOs for directed graphs is O(n^2.7233 M), and even in the easier case of undirected graphs, the best preprocessing time is O(n^2.6865 M) [Ren, ESA 2020]. One drawback of our DSOs, though, is that it only supports distance queries but not path queries. Our main technical ingredient is an algorithm that computes the inverse of a degree-d polynomial matrix (i.e. a matrix whose entries are degree-d univariate polynomials) modulo x^r. The algorithm is adapted from [Zhou, Labahn and Storjohann, Journal of Complexity, 2015], and we replace some of its intermediate steps with faster rectangular matrix multiplication algorithms. We also show how to compute unique shortest paths in a directed graph with edge weights in {1, 2, … , M}, in O(n^2.5286 M) time. This algorithm is crucial in the preprocessing algorithm of our DSO. Our solution improves the O(n^2.6865 M) time bound in [Ren, ESA 2020], and matches the current best time bound for computing all-pairs shortest paths.

研究の動機と目的

• 有向グラフにおける距離感度オラクル（DSO）の前処理アルゴリズムをより高速に設計すること。
• 有向グラフでは O(n^2.7233 M)、無向グラフでは O(n^2.6865 M) という従来の境界を下回る前処理時間を達成すること。
• O(n^2.5286 M) 時間で一意の最短経路を効率的に計算するアルゴリズムを開発すること。このアルゴリズムは DSO の構築を支援する。
• 多項式行列逆行列技術を応用し、最短経路計算の文脈でより高速な行列演算を実現すること。

提案手法

• 中心的な手法は、Zhou ら（2015）の手法を変更して、x^r を法とする次数 d の多項式行列の逆行列を計算すること。
• 特定の内部ステップをより高速な長方形行列乗算アルゴリズムに置き換えることで、漸近的計算量を改善する。
• DSO は、この行列逆行列技術を用いて構築され、頂点または辺の故障下でも定数時間の距離クエリをサポートする。
• 最短経路計算は、O(n^2.5286 M) 時間で一意の最短経路を計算する新しいアルゴリズムに依存しており、DSO の前処理段階で使用される。
• 故障下での代替経路を効率的に符号化・クエリするため、多項式の代数的構造を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有向グラフにおける距離感度オラクルの前処理時間を O(n^2.7233 M) 未満に改善できるか？
• RQ2 小さな整数辺重みをもつ有向グラフにおいて、一意の最短経路を計算するより高速なアルゴリズムを達成できるか？
• RQ3 グラフアルゴリズムの文脈で、高度な長方形行列乗算技術を用いて多項式行列逆行列を最適化できるか？
• RQ4 新しい行列逆行列手法により、定数クエリ時間の維持を前提に、DSO の構築をより高速にできるか？

主な発見

• 本論文は、定数クエリ時間の距離感度オラクルを構築するための前処理時間を O(n^2.5794 M) に達成し、従来の O(n^2.7233 M) の境界を改善した。
• 一意の最短経路を計算するアルゴリズムは O(n^2.5286 M) 時間で実行され、全ペア最短経路の現在の最良境界と一致する。
• 多項式行列逆行列に長方形行列乗算を適用することで、前処理フェーズにおける顕著な漸近的改善が得られた。
• DSO の構築は距離クエリのみをサポートしており、経路の再構築は非対応であるため、現在のアプローチには制限が残っている。