[論文レビュー] Constructing a Lattice With the Cardinalities of the Sets of Congruences, Filters and Ideals Pairwise Distinct

Claudia Mureșan|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2017

Advanced Algebra and Logic被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、連続体仮説を仮定せずに、有界ラティスの水平和を用いて、フィルター、イデアル、同値関係の集合の濃度が互いに異なる有界ラティスを構成する。主な貢献は、普遍代数学における未解決問題を解消するための新規なラティス構成法であり、3つの集合の濃度がすべて異なる無限濃度であることを保証している。

ABSTRACT

In this paper, I am giving a solution to the problem I have proposed in [eucard]: finding a lattice with the cardinalities of the sets of filters, ideals and congruences pairwise distinct; I am constructing such a lattice by using horizontal sums, and without enforcing the Continuum Hypothesis. This research has also produced a set of results on (prime) filters, ideals and congruences in horizontal sums of bounded lattices.

研究の動機と目的

• 「eucard」で提示された、そのラティスのフィルター、イデアル、同値関係の集合の濃度が互いに異なるようなラティスの存在に関する未解決問題を解決すること。
• 連続体仮説に依存しない水平和を用いた有界ラティスの構成法を提示すること。
• 有界ラティスの水平和における（素）フィルター、イデアル、同値関係に関する基礎的結果を確立すること。

提案手法

• 水平和を用いた有界ラティスの構成により、フィルター、イデアル、同値関係の濃度を独立に制御する。
• この方法により、得られるラティスのフィルター、イデアル、同値関係の集合が、すべて異なる無限濃度を持つことが保証される。
• 水平和の構造的性質を活用して、これらの集合のサイズを分離・操作する。
• 連続体仮説のような集合論的仮定を避けることで、標準的なZFC集合論において有効であることを保証する。
• ラティス演算と、構成された和におけるフィルター、イデアル、同値関係の生成の相互作用に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フィルター、イデアル、同値関係の集合の濃度が互いに異なるような有界ラティスを構成することは可能か？
• RQ2 連続体仮説を仮定せずに、このような構成は可能か？
• RQ3 有界ラティスの水平和における（素）フィルター、イデアル、同値関係の性質はどのように振る舞うか？
• RQ4 ラティスにおいて、これらの3つの集合の濃度が異なるように保証する構造的条件は何か？
• RQ5 同値関係の集合の濃度を、フィルターとイデアルの両方の集合の濃度とは厳密に異なるものにすることは可能か？

主な発見

• フィルター、イデアル、同値関係の集合の濃度が互いに異なる無限濃度である有界ラティスが明示的に構成された。
• この構成は、連続体仮説を必要とせず、有界ラティスの水平和に依存するにとどまる。
• この方法により、同値関係の集合の濃度がフィルターおよびイデアルの集合の濃度とは異なるラティスが得られた。
• 有界ラティスの水平和における（素）フィルター、イデアル、同値関係に関する新しい構造的結果が確立された。
• 構成されたラティスにおいて、3つの集合の濃度が互いに独立であることが示され、元の問題の条件を満たした。