[論文レビュー] Constructing absolute maximally entangled states and optimal quantum error correcting codes

Zahra Raissi, Christian Gogolin+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2017

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、$ n $ パarty と局所次元 $ q \geq n-1 $（素数のべき）に対して、古典的な最大距離可分（MDS）符号との関係を用いて、絶対的 maximally entangled（AME）状態を構築する。AME状態のための安定化子形式を発展させ、偶数 $ n $ に対して $[\![n,1,n/2]\!]_q$ の量子誤り訂正符号の族を構築し、数値的証拠で支持される仮説の下で、量子Singleton境界に達している。

ABSTRACT

Absolutely maximally entangled (AME) states are pure multi-partite generalizations of the bipartite maximally entangled states with the property that all reduced states of at most half the system size are in the maximally mixed state. AME states are of interest for multipartite teleportation and quantum secret sharing and have recently found new applications in the context of high-energy physics in toy models realizing the AdS/CFT-correspondence. We work out in detail the connection between AME states of minimal support and classical maximum distance separable (MDS) error correcting codes and, in particular, provide explicit closed form expressions for AME states of $n$ parties with local dimension $q$ a power of a prime for all $q \geq n-1$. Building on this, we construct a generalization of the Bell-basis consisting of AME states and develop a stabilizer formalism for AME states. For every $q \geq n-1$ prime we show how to construct QECCs that encode a logical qudit into a subspace spanned by AME states. Under a conjecture for which we provide numerical evidence, this construction produces a family of quantum error correcting codes $[\![n,1,n/2]\!]_q$ for $n$ even, saturating the quantum Singleton bound. We show that our conjecture is equivalent to the existence of an operator whose support cannot be decreased by multiplying it with stabilizer products and explicitly construct the codes up to $n = 8$.

研究の動機と目的

• 最小サポートを持つAME状態と古典的MDS符号の正確な対応関係を確立すること。
• 局所次元 $ q \geq n-1 $ で $ q $ が素数のべきである $ n $ パarty に対して、AME状態の明示的閉形式の構成を提供すること。
• 量子誤り訂正に使用するための、AME状態に特化した安定化子形式を構築すること。
• 1つの論理キュービットをAME状態が張る部分空間に符号化する量子誤り訂正符号（QECC）を構築すること。
• これらの符号が、数値的証拠で支持される仮説の下で、量子Singleton境界に達することを示すこと。

提案手法

• AME状態と古典的MDS符号の双対性を活用し、$ \mathbb{C}^q $ 上で $ q \geq n-1 $、$ q $ が素数のべきである場合のAME状態の明示的表現を導出する。
• 有限体構造と対称テンソル構成を用いて、最小サポートを持つAME状態を生成し、すべてのサイズが $ \lfloor n/2 \rfloor $ 以下の部分系にわたる最大の量子もつれを保証する。
• 局所操作下でAME性質を保存する生成子を同定することで、AME状態のための安定化子形式を導入する。
• 完全な最大もつれ資源状態のセットを提供する、完全にAME状態からなる一般化されたベル基底を構築する。
• AME状態が張る部分空間に論理キュービットを符号化することで、$[\![n,1,n/2]\!]_q$ の符号族を導出する。コード距離は $ d = n/2 $ である。
• 非縮退的演算子が安定化子積によってサポートを縮小できないことを、経験的に検証し、符号最適性の背後にある仮説を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所次元 $ q \geq n-1 $ で $ q $ が素数のべきである $ n $ パarty に対して、最小サポートを持つAME状態を体系的に構築可能か？
• RQ2 AME状態と古典的MDS符号の正確な代数的関係は何か？ そして、これを明示的な状態形の生成にどう利用できるか？
• RQ3 AME状態の記述と操作に適した安定化子形式は、どのようにして量子誤り訂正に適合させられるか？
• RQ4 構築されたQECCは量子Singleton境界に達するか？ そして、その最適性はどのような条件下で保証されるか？
• RQ5 構造的障害（縮小不能な演算子サポート）が存在する場合、それが構築された符号の最適性を示唆するか？

主な発見

• 有限体構成を用いて、局所次元 $ q \geq n-1 $、$ q $ が素数のべきである $ n $ パarty のAME状態の明示的閉形式表現が導出された。
• 完全にAME状態からなる一般化されたベル基底が構築され、量子ネットワークにおける完全な最大もつれ資源状態のセットが可能になった。
• AME状態のための安定化子形式が開発され、そのもつれ性質の体系的かつ明示的な操作と検証が可能になった。
• すべての素数 $ q \geq n-1 $ に対して、AME状態が張る部分空間に1つの論理キュービットを符号化する $[\![n,1,n/2]\!]_q$ の符号族が構築された。
• 数値的証拠で支持される仮説の下で、これらの符号は量子Singleton境界に達しており、距離とレートの観点から最適性を示している。
• 符号は $ n = 8 $ まで明示的に構築され、その仮説は、安定化子積によるサポートの縮小が不可能な演算子の存在と同値であることが示された。