[論文レビュー] Constructing and counting number fields

Henri Cohen|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 16被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、Kummer理論、類体論、準同調ベクトル空間を用いて、与えられたガロア群をもつ数体を漸近的および正確に数えるための高度な手法を概説する。特に、4次以下の次数に焦点を当て、判別式ノルム ≤ X であるような数体の個数は、$ c_K(G) X^{1/i(G)} (\log X)^{b_K(G)-1} $ として漸近的に増加することを確立し、$ S_3 $、$ D_4 $、$ S_4 $ のような群に対しては明確な定数と誤差項を提示する。また、判別式の上限までに完全な数体の表を構築するためのアルゴリズムも提供する。

ABSTRACT

In this paper we give a survey of recent methods for the asymptotic and exact enumeration of number fields with given Galois group of the Galois closure. In particular, the case of fields of degree up to 4 is now almost completely solved, both in theory and in practice. The same methods also allow construction of the corresponding complete tables of number fields with discriminant up to a given bound.

研究の動機と目的

• 指定されたガロア群をもつ数体の漸近的および正確な列挙のための現代的手法を開発・概説すること。
• ガロア群 G をもつ n 次数の数体で、判別式ノルム ≤ X であるものの個数に関する明確な漸近公式を確立すること。
• 特に 4 次以下の次数について、与えられた判別式の上限までに完全な数体の表を構築するためのアルゴリズムを提供すること。
• Malleの予想が、このような数え上げ関数の増加率に関して有効であるか、その構造を調査すること。
• 類体論やKummer理論といった古典的手法を、準同調ベクトル空間と順序分類を用いて、高次拡大へと拡張すること。

提案手法

• アーベルおよび可解拡大の分類にKummer理論を用い、特にray類群と2階数を用いた順序の分類と数え上げに有効である。
• ray類群とMöbiusの和関数を用いた類体論を適用し、二次および三次拡大の数え上げに用いるが、漸近的数え上げには限界がある。
• 準同調ベクトル空間を用いて、群の作用による形式（例：四次順序では3次形式の対）を介して順序を分類する。
• Bhargavaの分類を用い、$ \mathbb{Z}^2 \otimes \text{Sym}^2(\mathbb{Z}^3) $ および $ \mathbb{Z}^4 \otimes \Lambda^2(\mathbb{Z}^5) $ を用いて四次および五次順序を分類し、$ \text{SL}_2(\mathbb{Z}) \times \text{SL}_3(\mathbb{Z}) $ および $ \text{SL}_4(\mathbb{Z}) \times \text{SL}_5(\mathbb{Z}) $ の作用を用いる。
• 素数 p における局所的算術的条件を課して最大順序に制限し、p = 2, 3 および一般の p > 3 に対して明示的な計算を行う。
• 固定された判別式における軌道数の推定に、基本領域のカスプ付近での点数えを用い、表現と群作用の次元差が 1 であることに依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ガロア群 G と判別式ノルム ≤ X をもつ n 次数の数体の個数の漸近的増加率は何か？
• RQ2 Malleの予想における定数は、特定の群と底体に対して明示的に計算可能か？
• RQ3 与えられたガロア群に対して、判別式ノルム ≤ X である完全な数体の表をアルゴリズム的に構築する方法は何か？
• RQ4 類体論のような古典的手法が漸近的数え上げ結果を導けない場合、その限界はどこにあり、現代的手法はどのようにそれを克服するか？
• RQ5 準同調ベクトル空間と順序分類は、4 次を超える数体の数え上げにおいて、果たす役割は何か？

主な発見

• K = \mathbb{Q}、G = S_3 の場合、$ N_{\mathbb{Q},3}(S_3,X) \sim \frac{1}{\zeta(3)} X $ であり、Davenport-Heilbronnの定理を確認する。
• K が任意の数体の場合、$ N_{K,3}(S_3,X) \sim \left(\frac{2}{3}\right)^{r_1-1} \left(\frac{1}{6}\right)^{r_2} \frac{\zeta_K(1)}{\zeta_K(3)} X $ であり、一般の数体への結果の拡張を示す。
• K = \mathbb{Q}、G = S_4 の場合、$ N_{\mathbb{Q},4}(S_4,X) \sim \frac{5}{6} \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^2} - \frac{1}{p^3} - \frac{1}{p^4}\right) X $ であり、Euler積から得られる明確な定数が導出される。
• K が任意の数体の場合、$ N_{K,4}(S_4,X) $ は $ c_1 X $ と $ c_2 X \log^2 X $ の間で有界であり、収束の仮定の下では漸近的に $ c_K(S_4) X $ となり、素数に関する積分公式が得られる。
• K = \mathbb{Q}、G = S_5 の場合、$ N_{\mathbb{Q},5}(S_5,X) $ はすべての $ \varepsilon > 0 $ に対して $ c_1 X < N_{\mathbb{Q},5}(S_5,X) < X^{1+\varepsilon} $ を満たし、Malleの予想の弱い形を支持する。
• 本稿では、$ \mathbb{Q} $ 上の立方体数体におけるディリクレ級数 $ \sum_L |d(L)|^{-s} $ が、$ \Re(s) = 1 $ でさえも解析的接続されないことを示し、深い未解決問題を強調する。