[論文レビュー] Constructing balanced metrics on some families of non-Kahler Calabi-Yau threefolds

Jixiang Fu, Jun Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 9被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、$(-1,-1)$-有理曲線を収縮した後、その滑らか化によって得られる非ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体に対してバランスの取れた計量を構成する。変形理論と元のケーラー多様体におけるバランスの取れた計量の存在を活用することで、著者たちはこの構造を非ケーラーの滑らか化へと拡張し、最終的に $k \geq 2$ 個の $S^3 \times S^3$ の連結和に微分同相な複素多様体に対してバランスの取れた計量を構成する。

ABSTRACT

We construct balanced metrics on the family of non-Kahler Calabi-Yau threefolds that are obtained by smoothing after contracting $(-1,-1)$-rational curves on Kahler Calabi-Yau threefold. As an application, we construct balanced metrics on complex manifolds diffeomorphic to connected sum of $k\geq 2$ copies of $S^3 imes S^3$.

研究の動機と目的

• ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体から、$(-1,-1)$-曲線の収縮後に得られる非ケーラーの滑らか化へのバランスの取れた計量の存在を拡張すること。
• 幾何的遷移によって生じる特定の非ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体における既知のバランスの取れた計量の欠如に対処すること。
• $k \geq 2$ 個の $S^3 \times S^3$ のコピーの連結和に微分同相な複素多様体に対して、明示的なバランスの取れた計量を構成すること。
• カラビ・ヤウ3次元多様体の特定の非ケーラー変形において、バランスの取れた計量が保存することを示すこと。

提案手法

• ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体から$(-1,-1)$-有理曲線を収縮した後の滑らか化を、変形理論を用いて分析する。
• 元のケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体におけるバランスの取れた計量の存在を出発点として活用する。
• 解析的技法を用いて、滑らか化プロセス全体にわたるバランスの取れた計量構造を拡張する。
• 滑らか化された3次元多様体の変形空間が、バランスの取れた構造の余りの開集合を含むという事実を利用する。
• 特定のケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体の滑らか化として実現できる$S^3 \times S^3$の$k \geq 2$個の連結和に対して、バランスの取れた計量を構成する。
• ヘルミート形式上の必要な微分幾何的条件を検証することで、得られた計量がバランスの取れていることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体から$(-1,-1)$-曲線の収縮後に得られる非ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体に対して、バランスの取れた計量を構成できるか？
• RQ2 ケーラー構造が存在しないにもかかわらず、このような非ケーラー3次元多様体の変形族はバランスの取れた計量を有するのか？
• RQ3 微分同相的に $k \geq 2$ 個の $S^3 \times S^3$ のコピーの連結和に同相な多様体におけるバランスの取れた計量の位相的・幾何的性質は何か？
• RQ4 元のケーラー多様体におけるバランスの取れた計量の存在が、幾何的遷移の過程でどのように伝播するのか？
• RQ5 非自明な連結和位相を持つ複素多様体に対して、バランスの取れた計量の明示的構成は可能か？

主な発見

• ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体から$(-1,-1)$-曲線の収縮後に得られる非ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体に対して、バランスの取れた計量が成功裏に構成された。
• この構成により、$k \geq 2$ 個の $S^3 \times S^3$ のコピーの連結和に微分同相な複素多様体に対してもバランスの取れた計量の存在が確認された。
• この方法は、関連する族におけるバランスの取れた構造の変形不変性に依拠し、滑らか化プロセス全体でバランスの条件を保持する。
• 得られた計量は非ケーラーであるため、ケーラー構造を持たない複素多様体に対してもバランスの取れた計量が存在することを示している。
• 本研究は、このような連結和多様体に対し、初めて明示的なバランスの取れた計量の構成を提供した。
• 結果として、バランスの取れた計量を有する既知の非ケーラー・カラビ・ヤウ3次元多様体のクラスが拡張され、複素次元3におけるヘルミート幾何の分野が豊かになった。