[論文レビュー] Constructing circuit codes by permuting initial sequences

Ed Wynn|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2012

Interconnection Networks and Systems参考文献 6被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、置換された遷移列と低次元パスの連結を活用して探索空間を縮小することで、超立方体における回路符号の2つの新規構成を提示する。これにより、スネーク・イン・ザ・ボックス・コイルの新記録を達成し、次を含む：d=10（スプレッド2）で348、d=11（スプレッド2）で638、d=13（スプレッド6）で58。複数の次元で、これまでの最良結果を上回った。

ABSTRACT

Two new constructions are presented for coils and snakes in the hypercube. Improvements are made on the best known results for snake-in-the-box coils of dimensions 9, 10 and 11, and for some other circuit codes of dimensions between 8 and 13. In the first construction, circuit codes are generated from permuted copies of an initial transition sequence; the multiple copies constrain the search, so that long codes can be found relatively efficiently. In the second construction, two lower-dimensional paths are joined together with only one or two changes in the highest dimension; this requires a search for a permutation of the second sequence to fit around the first. It is possible to investigate sequences of vertices of the hypercube, including circuit codes, by connecting the corresponding vertices in an extended graph related to the hypercube. As an example of this, invertible circuit codes are briefly discussed.

研究の動機と目的

• 超立方体における長大な回路符号を探索する際の組み合わせ的爆発を抑える制約付き探索手法の開発。
• 高次元超立方体におけるより長い符号の構築により、スネーク・イン・ザ・ボックスおよびコイル問題の現状を改善すること。
• 置換とパスの組み合わせによる対称性と構造的制約を活用し、長大な回路符号の効率的同定を可能にすること。
• 拡張されたグラフモデルを用いたグラフベースの手法により、回路符号内の対称性を検出すること。
• 次元8から13にわたり、新記録長の回路符号の明示的遷移列を提供すること。

提案手法

• 置換πの下で初期遷移列の複数コピーを生成することにより、置換された回路符号を構築し、周期Pを置換と初期ジャンプベクトルによって決定する。
• 初期ジャンプベクトルを用いて、1つの列の開始点から次の列の開始点への変位を定義し、置換がこのジャンプの変換を規定する。
• k-スプレッド条件で制約をかけたバックトラッキング探索を実施し、元の列と置換列の両方の遷移を同時にテストして妥当性を確認する。
• 置換πとの共役および可換性に基づく開始頂点のスケルトン比較により、対称的に同等の解を除外する。
• 最高次元における遷移数が1つか2つの低い次元のパスを組み合わせ、最初のパスの周囲に適合する適切な置換を第二のパスについて探索する。
• 対称性の検出を可能にするために、超立方体グラフに補助ノードを追加し、可逆的およびその他の対称的回路符号の同定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 置換された列による構造的制約は、超立方体における長大な回路符号の探索空間を顕著に縮小できるか？
• RQ2 最高次元における遷移数が最小限の2つの低次元パスを組み合わせることで、競争的または改善された回路符号長が得られるか？
• RQ3 回路符号内の対称性を体系的に検出し、重複する探索を回避するために活用できるか？
• RQ4 スプレッド2、3、5、6の次元8～13における、既知の最長の回路符号は何か？
• RQ5 提案された構成は、一般のバックトラッキング探索と比較して、符号長および計算効率の面で優れているか？

主な発見

• d=10（スプレッド2）で348長のコイルが発見され、以前の最良記録342を上回った。
• d=11（スプレッド2）で638長のコイルが発見され、以前の最良記録630を更新した。
• d=11（スプレッド2）で640長のコイルが構築され、初期列長32と置換(1234567890)A（P=20）を用いた。
• d=9（スプレッド3）で58長のコイルが発見され、以前の最良記録56を上回った。
• d=12（スプレッド5）で58長のコイルが構築され、以前の最良記録56を上回った。
• d=13（スプレッド6）で50長のコイルが発見され、以前の最良記録48を上回った。