[論文レビュー] Constructing (Co)inductive Types via Large Sizes

Benno van den Berg, Bastiaan Laarakker+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2026

Logic, programming, and type systems被引用数 0

ひとこと要約

要約: 本論文は、大規模サイズ型とパラメトリックサイズ量子を用いて、すべての（共）帰納型をエンコードし、サイズを非可算順序の解釈として現実化モデルで整合性を証明する’intensional type theory’を拡張する。

ABSTRACT

To ensure decidability and consistency of its type theory, a proof assistant should only accept terminating recursive functions and productive corecursive functions. Most proof assistants enforce this through syntactic conditions, which can be restrictive and non-modular. Sized types are a type-based alternative where (co)inductive types are annotated with additional size information. Well-founded induction on sizes can then be used to prove termination and productivity. An implementation of sized types exists in Agda, but it is currently inconsistent due to the addition of a largest size. We investigate an alternative approach, where intensional type theory is extended with a large type of sizes and parametric quantifiers over sizes. We show that inductive and coinductive types can be constructed in this theory, which improves on earlier work where this was only possible for the finitely-branching inductive types. The consistency of the theory is justified by an impredicative realisability model, which interprets the type of sizes as an uncountable ordinal.

研究の動機と目的

• 依存型プログラミングと数学における終了性と生産性の保証を動機づける。
• 大規模サイズとパラメトリック量子を用いて（共）帰納型をエンコードする型理論的枠組みを開発する。
• すべての多項式終_endofunctor に対する帰納的および共帰納的型の一貫したエンコードを提供する。
• サイズ付き構成が初期代数と最終コアルジェブラを生み出すことを示す。
• Hylandの有効トポスに基づく現実化モデルを通じて整合性を示す。
• 同一性証明の一意性依存性を避け、ホモトopy型理論と互換性を確保する。

提案手法

• ゼロ、後続、サイズに基づく健全な帰納原理（fix）を持つSize型を導入する。
• サイズに対する不適合的全称・存在量子と、サイズと型構造体とのパラメトリック性の公理を追加する。
• サイズ付き終_endofunctor（Diamond と Box）を定義し、サイズ上の束縛存在量化と普遍量化をモデル化する。
• サイズ付き初期代数を構成し、固定点展開と初期性の議論を用いて存在性を証明する。
• 通常の（非サイズ付き）終_endofunctor F は、サイズ付き初期代数の存在を存在量化として取り出すことで初期代数を得ることを示し、左随伴関係を用いる。
• サイズ型を非可算順序として解釈する現実化モデルを通じて整合性の正当化を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模サイズとパラメトリック量子を用いて、すべての多項式終_endofunctor に対して帰納型・共帰納型をエンコードできるか。
• RQ2 サイズ量子が不適合性の下で標準的な型構成子や universes とどう相互作用するか。
• RQ3 得られた理論は一貫しているか、現実化モデルを用いてどう示すか。
• RQ4 サイズ付き構成と既存の守護付き型理論など、（共）帰納型を形成する他のアプローチとの関係は。

主な発見

• すべての（共）帰納型はサイズとパラメトリック量子を用いてエンコードできる。
• 多項式終_endofunctor に対して初期代数と最終コアルジェブラを通じて帰納的・共帰納的構成を得る。
• サイズ型を非可算順序として解釈する現実化モデルにより整合性が正当化される。
• パラメトリック性を内部化し、同一性証明の一意性依存性に依存しないため HoTT との適合が可能になる。
• 大規模サイズ型と不適切なサイズ量子を持つ Martin-Löf 型理論を拡張しつつ、外延的推論を維持する。
• サイズ量子と型構成子の間のパラメトリックな交換を前提とする公理がエンコードの基盤となる。