[論文レビュー] Constructing dense graphs with sublinear Hadwiger number

Jacob Fox|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2011

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、小さな基本グラフのブロー・アップを用いて、稠密でサブラインアーなハドウィガー数をもつ明示的かつ密なグラフを構成する。頂点数 $ N $ のグラフに対して、ハドウィガー数は $ O(N / \sqrt{\log \log \log N}) $ に達する。この手法は分数的クライーク・マイナー数と辞書的積を用い、グラフとその補グラフの両方がサブラインアーなクライーク・マイナーを持つことを保証し、マーダーとトーマソンの長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

Mader asked to explicitly construct dense graphs for which the size of the largest clique minor is sublinear in the number of vertices. Such graphs exist as a random graph almost surely has this property. This question and variants were popularized by Thomason over several articles. We answer these questions by showing how to explicitly construct such graphs using blow-ups of small graphs with this property. This leads to the study of a fractional variant of the clique minor number, which may be of independent interest.

研究の動機と目的

• 頂点数 $ n $ のグラフに対して、ハドウィガー数が $ o(n) $ であるような明示的構成を達成し、マーダーの未解決問題に応える。
• グラフとその補グラフの両方がサブラインアーなハドウィガー数をもつようなグラフを構成し、トーマソンが提示したより強いバージョンの問題を解決する。
• このような極値的グラフを効率的に生成するためのフレームワークを、小さなグラフのブロー・アップを用いて開発する。
• 分数的クライーク・マイナー数の定義と分析を行い、理論的独自性を持つ可能性を示唆する。

提案手法

• 辞書的積のブロー・アップを用いる：$ G(t) = G \cdot I_t $ および $ G[t] = G \cdot K_t $ を定義し、$ I_t $ を空グラフ、$ K_t $ を $ t $ 頂点の完全グラフとする。
• 小さな基本グラフ $ G $ が有界なハドウィガー数を持つならば、そのブロー・アップは制御された拡張のもとでこの性質を保持することを示す。
• $ \epsilon $-ハドウィガー・グラフを、$ h(G) \leq \epsilon |G| $ を満たすグラフとして定義し、$ n(\epsilon) = 2^{(1+o(1))\epsilon^{-2}} $ 頂点を持つようなグラフを構成する。
• ブロー・アップおよびその補グラフのハドウィガー数が、$ \epsilon $-ハドウィガーの性質を保つことを証明し、サブラインアー成長を保証する。
• ブロー・アップにおける隣接関係がほぼ定数時間で計算可能であることに着目し、多項式時間での明示的構成を可能にする。
• ロバートソン＝セイヤーモアの定理を用いて、$ \epsilon $-ハドウィガー・グラフの族がマイナー閉じであり、有限個の禁止マイナーによって特徴付けられることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、頂点数 $ n $ のグラフでハドウィガー数が $ o(n) $ であるような明示的構成は可能か？
• RQ2 グラフとその補グラフの両方がサブラインアーなハドウィガー数を持つようなグラフは構成可能か？
• RQ3 稠密グラフにおける最小ハドウィガー数の漸近的挙動は何か？ また、明示的な上限は得られるか？
• RQ4 分数的ハドウィガー数は標準的クライーク・マイナー数とどのように関係するか？ また、新たな境界の導出に利用可能か？
• RQ5 準ランダムまたはランダムグラフ構造を避ける、サブラインアーなクライーク・マイナーをもつグラフの効率的構成は可能か？

主な発見

• 任意の $ \epsilon > 0 $ に対して、$ n(\epsilon) = 2^{(1+o(1))\epsilon^{-2}} $ 頂点を持つグラフ $ G $ を構成し、$ G $ の任意の完全ブロー・アップおよびその補グラフがすべて $ \epsilon $-ハドウィガーであることを示した。
• このようなブロー・アップのハドウィガー数は、$ N $ 頂点のグラフに対して $ O(N / \sqrt{\log \log \log N}) $ で有界であり、サブラインアー成長を達成した。
• 隣接関係がほぼ定数時間で計算可能であるため、この構成は多項式時間計算可能という基準を満たしており、明示的である。
• 小さな稠密グラフでハドウィガー数が小さいものをブロー・アップすることで、同じ性質を持つ大きなグラフを構築できることを示し、スケーラブルな構成が可能であることを示した。
• 分数的ハドウィガー数を導入し、クライーク・マイナー成長の解析に有用なツールであることが示された。これは、より広範な応用の可能性を秘めている。
• この結果により、$ \epsilon $-ハドウィガー・グラフの族がマイナー閉じであり、ロバートソン＝セイヤーモアの定理により、有限個の禁止マイナーによって特徴付けられることを示した。