[論文レビュー] Constructing Indecomposable Motivic Cohomology Classes on Algebraic Surfaces

Stefan Müller–Stach|arXiv (Cornell University)|Nov 2, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 21被引用数 70

ひとこと要約

本稿は、複素代数的表面の $CH^2(X,1)$ における分解不能なモチビックコホロロジー類を、デリーニュ＝ベイリスンコホロロジーの変形理論および混合ホッジ構造の変動を用いて、超越的手段で構成する。一般の四次的 K3 表面に直線を含む場合および特定の一般型の五次的表面に対して、 torsion や ピカール群の像を越えた明示的な例を提供し、そのような類の存在を証明する。

ABSTRACT

We describe a method to construct indecomposable classes in Bloch's higher Chow group $CH^2(X,1)$ on algebraic surfaces over the complex numbers via transcendental methods and apply it to obtain examples on K3-surfaces and some surfaces of general type.

研究の動機と目的

• 複素代数的表面に対して、Blochの高次チャウ群 $CH^2(X,1)$ における非 torsion かつ非分解可能な類を構成するための手法を開発すること。
• アーベル・サーフェスやヤコビアン上での既知の例を超えて、分解不能なサイクルの理解を拡張すること。
• 超越的およびホッジ理論的技法を用いて、K3 表面および一般型の表面に対して明示的な構成を行うこと。
• サイクル写像 $c_{2,1}$ の像が $\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb{C}^*$ を法として可算であることを示し、予想される有限性性質を支持すること。
• CH^2(X,1) の分解可能性と高次チャウ理論におけるサイクル写像の単射性との関係を調査すること。

提案手法

• 1次サイクル $Z$ と有理関数 $f_i$ の組で $\sum \mathrm{div}(f_i) = 0$ を満たすような、複素構造の変形理論を、ペア $(X,Z)$ に対して適用する。
• 開補集合 $U = X \setminus Z$ に対して混合ホッジ構造の変動を適用し、デリーニュ＝ベイリスンコホロロジーと関連付ける。
• 対数的 kodaira-spencer 写像を用いて、変形下でのコホロロジー類の非自明性を検出する。
• Gysin 列および混合ホッジ構造の拡張を用いて、サイクル類 $c_{2,1}(Z)$ を対数的接ベクトル束のコホロロジーと関連付ける。
• Gersten-Quillen 分解を適用し、$CH^2(X,1)$ を $H^1(X, \mathcal{K}_2)$ と同一視することで、無限小解析を可能にする。
• 双対数環上の層 $\mathcal{K}_{2,\epsilon}$ を用いて、$CH^2(X,1)$ の形式的接空間を解析し、無限小変形と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素代数的表面に対して、超越的手段を用いて $CH^2(X,1)$ 内の分解不能な類を構成できるか？
• RQ2 滑らかで射影的な表面に対して、$c_{2,1}: CH^2(X,1) \to H^1_{\mathcal{D}}(X, \mathbb{Z}(2))$ の像が $\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb{C}^*$ を法として可算のままであるか？
• RQ3 一般の四次的 K3 表面に直線を含む場合、$CH^2(X,1)$ 内のサイクル $Z$ は分解不能か？
• RQ4 対数的 kodaira-spencer 写像の非消滅性が、$CH^2(X,1)$ の非分解可能性を検出できるか？
• RQ5 例えば四面体の平面の退化において分解不能な類が存在するならば、一般ファイバーに対してもその存在が保証されるか？

主な発見

• 本稿は、直線を含む一般の四次的 K3 表面に対して、明示的な分解不能な類を $CH^2(X,1)$ に構成し、それが $\mathrm{Pic}(X)\otimes\mathbb{C}^*$ の像に属さないことを証明する。
• 任意の複素代数的滑らかで射影的な表面に対して、$c_{2,1}$ の像が $Hg^{1,1}(X)\otimes\mathbb{C}/\mathbb{Q}(1)$ を法として可算であることを証明し、予想される有限性を支持する。
• $\mathcal{F}^2_{\mathbb{Z}} = \mathcal{F}^1_{\mathbb{Z}} \wedge \mathcal{F}^1_{\mathbb{Z}}$ かつ $H^1(X, \mathcal{F}^2_{\mathbb{Z}}) \otimes \mathbb{Q} = 0$ を満たす表面に対して、$CH^2(X,1)$ は分解可能であることを示し、コホロロジー的基準を提供する。
• 対数的 kodaira-spencer 写像の非消滅性により、$c_{2,1}(Z)$ の非自明性が検出可能であり、K3 表面の族においてそれが非ゼロであることが示された。
• この手法は、特定の一般型の五次的表面に対しても適用可能であり、K3 表面を超えた新しい分解不能な類の例を提供する。
• 本稿は、$CH^2(X,1)$ の形式的接空間が、$H^1(X, \Omega^1_{X/\mathbb{Q}})$ および $H^2(X, \mathcal{O}_X) \otimes \Omega^1_{k/\mathbb{Q}}$ を含む長い完全列に含まれることを確立し、無限小変形とコホロロジーを関連付ける。