[論文レビュー] Constructing Initial Algebras Using Inflationary Iteration

Andrew M. Pitts, S. C. Steenkamp|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2021

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 30被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、順序数から抽象化された「サイズ」の概念を用いた発散的反復を用いて、自己関手の初期代数の存在を構成的証明する。古典的論理や選択公理を回避する。WISCという弱い選択公理のもとで、商や無限指数関数を含む広範な関手のクラスにこの手法が適用可能であり、トポスのような構成的設定でも初期代数の構成が可能である。

ABSTRACT

An old theorem of Adámek constructs initial algebras for sufficiently cocontinuous endofunctors via transfinite iteration over ordinals in classical set theory. We prove a new version that works in constructive logic, using "inflationary" iteration over a notion of size that abstracts from limit ordinals just their transitive, directed and well-founded properties. Borrowing from Taylor's constructive treatment of ordinals, we show that sizes exist with upper bounds for any given signature of indexes. From this it follows that there is a rich class of endofunctors to which the new theorem applies, provided one admits a weak form of choice (WISC) due to Streicher, Moerdijk, van den Berg and Palmgren, and which is known to hold in the internal constructive logic of many kinds of topos.

研究の動機と目的

• 順序数と古典的論理に依存するアダメックの初期代数に関する古典的定理の構成的代替を提供すること。
• 特に商や無限指数関数を含む関手に対して、古典的選択公理が問題となる構成的設定でも初期代数を構成する課題に取り組むこと。
• 初期代数を、順序数を一般化した「サイズ」の概念を用いて構成可能にすること。このサイズは、順序数の性質を一部抽象化し、帰納的・有向的・整礎的性質に焦点を当てる。
• 弱い被覆集合の初期性（WISC）公理が、コロイミット構成に必要な十分に大きなサイズの存在を保証するのに十分であることを示し、トポス的モデルにおける豊富な関手クラスにこの手法を適用可能にすること。
• 従来の論理が成り立たない構成的トポスにおいて、帰納的および商構成を含む依存型理論をモデル化する基盤を提供すること。

提案手法

• 整礎的で、推移的かつ有向的な順序構造としての「サイズ」の新しい概念を導入し、極限順序数から抽象化しながら、コロイミット構成に必要な本質的性質を保持する。
• 自己関手 F をサイズ κ に対して発散的反復する定義を行い、cocomplete 圏 C 内の図式 (Fα0)α∈κ を構成する。ここで各 Fα0 は F を α まで反復的に適用した像である。
• コロイミットの普遍性を用いて、リンク射 iα: Fα0 → Fα+0 を定義し、図式全体で整合性を保証する。
• この発散的反復のコロイミットが存在し、最終的なリンク射 iα が同型であるならば、(Fα0, iα⁻¹) が初期 F-代数をなすことを証明する。
• ターラーの順序数の扱いにインspiredされた構成的原理を用いて、与えられたインデックスのシグネチャに対して上界を持つサイズの存在を証明する。
• WISC 公理を適用し、任意の関手 F に対して、F が形状 κ のコロイミットを保存するようなサイズ κ が存在することを保証することで、古典的選択公理を回避した初期代数の構成を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己関手の初期代数は、選択公理や排中律を用いずに、構成的論理の設定でも構成可能か？
• RQ2 古典的順序数における超限反復を、コロイミット形成に必要な性質を保ちつつ、構成的推論に適したより一般化された「サイズ」の概念に置き換え可能か？
• RQ3 構成的圏論におけるコロイミット構成に必要な十分に大きなサイズの存在を保証するために、どの程度の選択公理が十分か？
• RQ4 この構成的手法は、無限指数関数や商構成を含む非多項式関手にどの程度適用可能か？
• RQ5 このアプローチは、特にトポスにおいて、より一般な代数的系における自由代数の存在の構成的証明に拡張可能か？

主な発見

• 自己関手 F があるサイズ κ の形状のコロイミットを保存するならば、その κ に対する発散的反復のコロイミットが初期 F-代数を与える、新しい構成的定理（定理 3.8）が確立された。
• 本構成で用いられる「サイズ」の概念は、順序数を一般化し、推移的・有向的・整礎的順序構造に焦点を当てることで、古典的順序数の性質に依存しない。
• 与えられたインデックスのシグネチャに対して上界を持つサイズの存在が、構成的に証明され、この手法が広く適用可能であることが保証された。
• 弱い被覆集合の初期性（WISC）公理が、商や無限指数関数を含む豊富な関手クラスに対して、このようなサイズの存在を保証するのに十分であることが示された。
• Agda のサイズ型理論で生じる論理的不整合を避けるために、無限サイズ ∞ を静的として用いるのではなく、代わりにコロイミット構成によって初期代数を取得する必要がある。
• このアプローチは予防的であり、自然数対象とユニバースを備えた初等トポスにおいて有効であり、帰納的および商構成を含む依存型理論のモデル化に適している。