[論文レビュー] Constructing Large Matchings via Query Access to a Maximal Matching Oracle

Sepehr Assadi, Deeparnab Chakrabarty+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 56被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、線形およびORクエリモデルにおけるグラフ連結性と単一要素回復のクエリ複雑性と段階的適応の回数のトレードオフを研究する。ORクエリを用いたグラフ連結性のための決定的O(r)-ラウンド、Õ(n¹⁺¹ᐟʳ)-クエリのアルゴリズムを提示し、ほぼタイトな下界と一致させ、Crossクエリを用いたランダム化1ラウンドeO(n)-クエリのアルゴリズムを提案し、従来の非適応的手法よりも顕著に改善している。

ABSTRACT

Multi-pass streaming algorithm for Maximum Matching have been studied since more than 15 years and various algorithmic results are known today, including 2-pass streaming algorithms that break the 1/2-approximation barrier, and (1-ε)-approximation streaming algorithms that run in O(poly 1/ε) passes in bipartite graphs and in O((1/ε)^(1/ε)) or O(poly (1/ε) ⋅ log n) passes in general graphs, where n is the number of vertices of the input graph. However, proving impossibility results for such algorithms has so far been elusive, and, for example, even the existence of 2-pass small space streaming algorithms with approximation factor 0.999 has not yet been ruled out. The key building block of all multi-pass streaming algorithms for Maximum Matching is the Greedy matching algorithm. Our aim is to understand the limitations of this approach: How many passes are required if the algorithm solely relies on the invocation of the Greedy algorithm? In this paper, we initiate the study of lower bounds for restricted families of multi-pass streaming algorithms for Maximum Matching. We focus on the simple yet powerful class of algorithms that in each pass run Greedy on a vertex-induced subgraph of the input graph. In bipartite graphs, we show that 3 passes are necessary and sufficient to improve on the trivial approximation factor of 1/2: We give a lower bound of 0.6 on the approximation ratio of such algorithms, which is optimal. We further show that Ω(1/ε) passes are required for computing a (1-ε)-approximation, even in bipartite graphs. Last, the considered class of algorithms is not well-suited to general graphs: We show that Ω(n) passes are required in order to improve on the trivial approximation factor of 1/2.

研究の動機と目的

• 線形およびORクエリモデルにおけるグラフ連結性と単一要素回復のための適応の回数とクエリ複雑性のトレードオフを理解すること。
• ORクエリモデルにおける決定的およびランダム化アルゴリズムのタイトな下界を確立すること。
• CrossおよびBISクエリなどの自然なグラフクエリモデルを用いて、グラフ連結性のための効率的アルゴリズムを設計すること。
• クエリ複雑性、スケッチ、ストリーミング、圧縮センシングの間の接点を明らかにし、これらのモデルにおける基本的問題を研究すること。

提案手法

• 構造化されたクエリアクセスを活用して、グラフ連結性を単一要素回復問題へと新たな還元を実施する。
• 適応的サブセットクエリを用いて接続性のチェックをシミュレートすることで、ORクエリを用いた決定的rラウンドアルゴリズムを設計する。
• エッジカットを効率的にサンプリングして接続性をテストするため、Crossクエリを用いたランダム化1ラウンドアルゴリズムを採用する。
• 組合せ的グループテストにおける既知の難問への還元と情報理論的議論を用いて、タイトな下界を証明する。
• 線形クエリ複雑性の分析に、圧縮センシングとコインウェイティングの技術を適用する。
• 各ラウンドで探索空間を再帰的分割することで縮小し、ラウンド全体でのクエリ使用量を最小化する戦略を採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ORクエリモデルにおいて、決定的アルゴリズムがグラフ連結性を解く際の適応のラウンド数とクエリ複雑性の最適なトレードオフは何か？
• RQ2 ランダム化アルゴリズムは、ORまたはCrossクエリを用いて1ラウンドでサブライン式のクエリ複雑性を達成できるか？
• RQ3 線形およびORクエリを用いたrラウンドの決定的およびランダム化設定における単一要素回復のクエリ複雑性は何か？
• RQ4 CrossおよびBISクエリは、一般のORおよび線形クエリに比べ、グラフ連結性の問題においてどれほど強力か？
• RQ5 結果は、空間とパス数が制限された動的またはセミストリーミング設定に拡張可能か？

主な発見

• ORクエリを用いた決定的rラウンドアルゴリズムは、グラフ連結性のためのÕ(n¹⁺¹ᐟʳ)クエリを必要とし、˜Ω(n¹⁺¹ᐟʳ)の下界により、ほぼタイトであることが示された。
• Crossクエリを用いたランダム化1ラウンドアルゴリズムは、eO(n)クエリのみを用い、従来の非適応的手法に比べ顕著に改善された。
• 単一要素回復に関して、任意のrラウンド決定的アルゴリズムは、あるラウンドで少なくとも(N¹ᐟʳ − 1)の線形クエリを必要とし、これは上界と一致する。
• O(polylog(N))クエリで動作するランダム化1ラウンドアルゴリズムが単一要素回復に存在することを示し、決定的アプローチに比べて顕著な利点を示した。
• 本稿は、グラフ連結性の1ラウンドランダム化アルゴリズムがeΩ(n²)のORクエリを必要とすることを示し、適応の強力さを強調した。
• 結果から、O(log n)パスでO(n¹⁺¹ᐟʳ)のメモリを用いてスパニングフォレストを維持する新たな決定的セミストリーミングアルゴリズムが導かれる。