[論文レビュー] Constructing low degree hyperbolic surfaces in P^3

Bernard Shiffman, Mikhail Zaidenberg|ArXiv.org|Feb 25, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、特異な曲面の「双曲的非透過性」性質を活用して、ℙ³における小線形変形を用いたKobayashi双曲的曲面の構成法を提案する。特定の8次特異アーベル曲面および一般位置にある15枚の平面の和集合の小変形が双曲的であることを証明し、複素射影3次元空間における低次数双曲的曲面の新たな例を提供する。

ABSTRACT

We describe a new method of constructing Kobayashi-hyperbolic surfaces in complex projective 3-space based on deforming surfaces with a "hyperbolic non-percolation" property. We use this method to show that general small deformations of certain singular abelian surfaces of degree 8 are hyperbolic. We also show that a union of 15 planes in general position in projective 3-space admits hyperbolic deformations.

研究の動機と目的

• ℙ³におけるKobayashi双曲的射影曲面を、変形理論を用いて構成する新手法の開発。
• 特に二重曲線および特定の特異点集合を有する曲面に対して、小変形が双曲的のままである条件を確立すること。
• 特に8次および15枚の平面の和集合として得られる低次数双曲的曲面の新たな例を提供し、最小次数双曲的超曲面の探索を進める。
• 特異極限におけるBrody曲線の存在を防ぐ役割を果たす「双曲的非透過性」の理解を拡張すること。
• 8次特異アーベル曲面および一般位置にある15枚の平面の和集合の変形が双曲的であることを確認し、Kobayashiの一般高次元超曲面に関する予想に寄与すること。

提案手法

• 線形ペンキルを用いて特異曲面 $X_0 \subset \mathbb{P}^3$ の小摂動を変形理論で研究する。
• Hurwitzの定理を適用し、変形下でのBrody曲線列の極限を分析し、任意の極限曲線が特異点集合または有限例外集合に含まれることを示す。
• 「双曲的非透過性」性質を定義：$ (X_0 \setminus \bar{S}) \cup D $ にBrody曲線は存在しない。ここで $ \bar{S} $ は二重曲線、$ D $ は有限個の点の集合である。
• 特異点集合 $ \bar{S} \setminus \{p_j\} $ が（穿孔を施した有理曲線の和集合として）双曲的であることと、非透過性条件を組み合わせることで、変形の双曲的性を導出する。
• アーベル曲面 $ A $ から $ X_0 $ への正規化写像 $ \varphi_L: A \to X_0 $ を用い、Brodyの再パrametrization補題を適用して曲線を上に持ち上げ、$ A \setminus S $ への非定数写像から矛盾を導く。
• Brody曲線が正規化に持ち上がり、有限例外集合 $ D $ を避けるならば、その曲線は特異点集合 $ S $ に含まれていなければならない。これはアーベル多様体 $ A $ の単純性に反する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二重曲線および双曲的非透過性を有する特異曲面の小変形が、ℙ³における双曲的曲面を生成できるか？
• RQ2 特異点集合および特異点集合の補集合に関するどのような条件が、変形の双曲的性を保証するか？
• RQ3 ℙ³における8次特異アーベル曲面の一般小変形は、Kobayashi双曲的のままであるか？
• RQ4 一般位置にある15枚の平面の和集合は、ℙ³で双曲的小変形を許容するか？
• RQ5 双曲的非透過性性質は、変形極限におけるBrody曲線の存在を防ぐのに十分か？

主な発見

• ℙ³における8次特異アーベル曲面の小変形はKobayashi双曲的であり、8次双曲的曲面の新たな例を提供する。
• 一般位置にある15枚の平面の和集合は、双曲的非透過性の議論により、双曲的小変形を許容する。
• 曲面 $ X_0 = \{Q = 0\} \subset \mathbb{P}^3 $ の変形（ここで $ Q $ は15個の一次形式の積）は、ペンキル $ \{\prod L_j + tQ^3 = 0\} $ において十分に小さい $ t \neq 0 $ に対して双曲的である。
• 特異曲面の二重曲線 $ \bar{S} $ は4つの成分からなり、それぞれが6個の穿孔をもつ有理曲線であり、$ \bar{S} \setminus \{p_j\} $ は双曲的である。
• 特異曲面の正規化はアーベル曲面であり、複素数平面 ℂ から正規化の有限集合を除いた部分への非定数正則写像が存在しないことから、Brody曲線が持ち上がることはない。したがって、このような曲線が存在するならば矛盾が生じる。
• 極限曲面 $ X_\infty $ が4つのピンチ点 $ p_j $ のいずれをも含まないという条件下で、この方法により双曲的性が確認される。これは一般的である。