[論文レビュー] Constructing model categories with prescribed fibrant objects

Alexandru E. Stanculescu|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、弱ファクタリゼーション系と2つ中6つの性質を用いて、ファイブレーション対象が明示的に記述されたコフibrantly生成されたクィルレンモデル圏を構成するための洗練された認識原理を提示する。この手法を、モノイド的シンプレクティックモデル圏に値をとる小カテゴリの圏における組合せ的モデル構造、およびそのような圏におけるモノイドの左ボウスフィールド局所化に適用し、ファイブレーション対象が正確に局所対象として特徴づけられる。

ABSTRACT

We present a weak form of a recognition principle for Quillen model categories due to J.H. Smith. We use it to put a model category structure on the category of small categories enriched over a suitable monoidal simplicial model category. The proof uses a part of the model structure on small simplicial categories due to J. Bergner. We give an application of the weak form of Smith's result to left Bousfield localizations of categories of monoids in a suitable monoidal model category.

研究の動機と目的

• ファイブレーション対象が明示的に特徴づけられるコフibrantly生成モデル圏を構築するための実用的認識原理を開発すること。
• スミスの定理におけるc2（複素数の帰納的合成および押し出しに関する閉包性）の検証の難しさを克服するため、洗練された技術を導入すること。
• 古典的スミスの定理を改善し、ファイブレーション対象とそれらの間のファイブレーションに焦点を当てて、ファイブレーションの部分的記述を提供すること。
• モノイド的シングルラティヴ・モデル圏に値をとる小カテゴリの圏にモデル構造を確立すること。
• モノイド的モデル圏における左ボウスフィールド局所化にこの手法を拡張し、ファイブレーションモノイドが局所的条件を満たすものとして正確に特徴づけられることを示すこと。

提案手法

• スミスの認識原理の弱い形を採用し、c2の直接的検証を避けるために弱ファクタリゼーション系と2つ中6つの性質を用いる。
• ナイト・ファイブレーション対象（inj₀(J)）のクラスを用いて、ファイブレーション対象とそれらの間のファイブレーションを記述する。
• モノイド的シングルラティヴ・モデル圏に値をとる小カテゴリの圏にこの手法を適用し、ベルナーゲンの証明を新しい枠組みに適合させる。
• 局所化された設定における局所同型とモノイド構造の整合性を保証するため、S-拡張モノイド公理を導入する。
• 自由・忘却随伴関手を用いてモデル構造を転送し、弱同型をTS局所同型として定義する。
• 豊密化された設定における2つ中6つの性質、および押し出しと複素数の帰納的合成に関する閉包性を用いて、認識原理の条件を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スミスの定理におけるc2の完全な検証に依存せずに、ファイブレーション対象が明示的に記述されたモデル構造を構築するにはどうすればよいか？
• RQ2 左ボウスフィールド局所化において、モデル圏のファイブレーション対象が正確にS局所対象であるための条件は何か？
• RQ3 完全なファイブレーションが特徴づけられていない状況でも、ファイブレーション対象間のファイブレーションを生成集合に関する上り上げ性質として記述できるか？
• RQ4 モノイド的モデル圏の左ボウスフィールド局所化が、モノイドの圏にモデル構造を誘導するための条件は何か？
• RQ5 S-拡張モノイド公理はどのように定式化すればよいか？ これにより、局所化されたモデル構造におけるモノイド構造と局所同型の整合性が保証される。

主な発見

• 本稿は、c2の検証を簡略化するための新しい認識原理を確立し、2つ中6つの性質と洗練された弱ファクタリゼーション系に焦点を当てた。
• 適切な仮定を満たすモノイド的シングルラティヴ・モデル圏に値をとる小カテゴリの圏において、ファイブレーション対象が与えられた写像の集合に関して局所的である豊密化された圏に正確に一致する組合せ的モデル構造が存在することを証明した。
• モノイド的モデル圏におけるモノイドのモデル構造のファイブレーション対象は、正確にTS局所モノイドであることが示された。ここでTS局所とは、基底対象がS局所であることを意味する。
• 自由・忘却随伴関手とS-拡張モノイド公理を用いて、モノイドのモデル構造が構成され、その結果得られるファイブレーション対象間のファイブレーションが正確にナイト・ファイブレーションであることが保証された。
• この手法により、以前の結果（注記2.8）のギャップを是正し、豊密化および局所化された設定へのモデル構造の転送を体系的に行う方法を提供した。
• この方法により、ややいなごましのコフェイブルおよび整合性の仮定の下で、モノイドの圏の左ボウスフィールド局所化を構成可能であり、その構造がモノイド的構造を保ち、組合せ的であることが保証された。