[論文レビュー] Constructing Orthogonal Latin Squares from Linear Cellular Automata

Luca Mariot, Enrico Formenti+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 1, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、線形細胞オートマトン（CA）を用いて、互いに直交するラテン方陣（MOLS）を生成する手法を提示する。2つの線形CAが、$ q^m $ 階の直交MOLSを生成するための必要十分条件は、それらに付随する多項式が互いに素であることであることを証明している。この構成は、CA遷移行列から導かれるシルベスター行列を活用しており、CAに基づく組合せデザインを用いて、制限のないアクセス構造を持つしきい値秘密分散方式の設計に新たなアプローチを提供する。

ABSTRACT

We undertake an investigation of combinatorial designs engendered by cellular automata (CA), focusing in particular on orthogonal Latin squares and orthogonal arrays. The motivation is of cryptographic nature. Indeed, we consider the problem of employing CA to define threshold secret sharing schemes via orthogonal Latin squares. We first show how to generate Latin squares through bipermutive CA. Then, using a characterization based on Sylvester matrices, we prove that two linear CA induce a pair of orthogonal Latin squares if and only if the polynomials associated to their local rules are relatively prime.

研究の動機と目的

• しきい値秘密分散方式をサポートするため、CAに基づく直交ラテン方陣（MOLS）を構築するための手法を開発すること。
• 従来のCAベースの秘密分散における逐次的アクセスの制限を克服し、制限のないアクセス構造を可能にすること。
• 2つの線形CAが直交MOLSを生成する条件を特定すること。
• 多項式の互いに素性を通じて、CA設計と直交配列（OA）などの組合せ的対象との関係を確立すること。
• CAの進化と行列の逆行列を用いて、秘密分散における共有の生成を実用的フレームワークとして提供すること。

提案手法

• 有限体 $ \mathbb{F}_q $ 上で、半径 $ r $、長さ $ 2m $ の双置換的線形CAからラテン方陣を構築し、ここで $ m $ は $ 2r $ の倍数である。
• 局所ルールから導かれる遷移行列を用いて、線形CAのグローバルルールを線形変換として表現する。
• 2つの線形CAの遷移行列を横に結合してシルベスター行列を形成し、これにより誘導されるラテン方陣の直交性が決定される。
• 得られたラテン方陣が直交するための必要十分条件は、シルベスター行列が正則であること、すなわち関連する多項式の結果式が非ゼロであることであることを証明する。
• 結果式の条件を用いて、CAの局所ルールに付随する多項式が互いに素であるとき、かつそのときに限り直交性が成立することを示す。
• 秘密分散を実現するため、秘密＋ランダムベクトルの初期状態からCAを進化させ、共有はCAの反復計算により得られ、逆にシルベスター行列を用いて復元可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2つの線形細胞オートマトンが、どのような条件下で直交ラテン方陣を生成するか？
• RQ2 線形CAによって生成されるラテン方陣の直交性は、代数的にどのように特徴付けられるか？
• RQ3 多項式の互いに素性は、CAによって誘導されるラテン方陣の直交性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 この構成を用いて、制限のないアクセス構造を持つCAベースのしきい値秘密分散方式を設計できるか？
• RQ5 このような方式における共有は、CAの進化と行列の逆行列を用いて、どのように効率的に計算・再構成できるか？

主な発見

• 2つの線形細胞オートマトンが、$ q^m $ 階の直交ラテン方陣を生成するための必要十分条件は、それらの局所ルールに付随する多項式が互いに素であることである。
• 直交性の条件は、2つのCAの遷移行列から形成されるシルベスター行列が正則であることと同値である。
• $ 2r $ が $ m $ を割り切るとき、次数 $ 2r $ の互いに素な多項式を $ n $ 個選ぶことで、$ q^m $ 階の $ n $ 個の相互に直交するラテン方陣を生成可能である。
• 本構成に基づく秘密分散方式は、$ t=2 $ のしきい値をサポートしており、任意の2名の参加者が共有と、互いに素なルールのシルベスター行列の逆行列を用いて秘密を復元可能である。
• 復元フェーズでは、2つの互いに素な多項式のシルベスター行列を逆行列化し、連結された共有に掛けることで、秘密とランダムベクトルを復元する。
• 本手法は、情報理論的セキュリティを備え、アクセス制御を柔軟に設定可能なCAベースの秘密分散方式を体系的かつ効率的に生成するための手法を提供する。