[論文レビュー] Constructing Piecewise-Polynomial Lyapunov Functions on Convex Polytopes Using Handelman's Basis

Reza Kamyar, Chaitanya Murti+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2014

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ひとこと要約

本稿では、多項式非線形システムの安定性解析のため、凸多面体上に区分的多項式リャプノフ関数を構築する、新しい凸最適化手法を提案する。均衡点まわりの多面体を分解し、Handelmanの定理を適用することで、線形計画法で解けるアフィン可解条件を定式化し、高次元・高次のシステムにおいて、和の平方（SOS）やPolyaに基づく手法よりも低い計算複雑性を実現する。

ABSTRACT

In this paper, we propose a new convex approach to stability analysis of nonlinear systems with polynomial vector fields. First, we consider an arbitrary convex polytope that contains the equilibrium in its interior. Then, we decompose the polytope into several convex sub-polytopes with a common vertex at the equilibrium. Then, by using Handelman's theorem, we derive a new set of affine feasibility conditions -solvable by linear programming- on each sub-polytope. Any solution to this feasibility problem yields a piecewise polynomial Lyapunov function on the entire polytope. This is the first result which utilizes Handelman's theorem and decomposition to construct piecewise polynomial Lyapunov functions on arbitrary polytopes. In a computational complexity analysis, we show that for large number of states and large degrees of the Lyapunov function, the complexity of the proposed feasibility problem is less than the complexity of certain semi-definite programs associated with alternative methods based on Sum-of-Squares or Polya's theorem. Using different types of convex polytopes, we assess the accuracy of the algorithm in estimating the region of attraction of the equilibrium point of the reverse-time Van Der Pol oscillator.

研究の動機と目的

• 多項式非線形システムのリャプノフ関数を計算的に効率的に構築する手法を開発すること。
• 高次元のシステムで高次多項式ベクトル場を有する場合の安定性解析の課題に対処すること。
• 従来の和の平方（SOS）や Polya に基づくアプローチと比較して、計算複雑性を低減すること。
• 凸多面体領域を用いて吸引域を正確に推定できること。
• 任意の凸多面体上での区分的多項式リャプノフ関数構築に Handelman の定理を拡張すること。

提案手法

• まず、均衡点を内部に含む凸多面体を選択する。
• その多面体を、均衡点を共通頂点とする複数の凸部分多面体に分解する。
• 各部分多面体において、Handelman の定理を適用し、非負性条件を非負多項式の基底を用いて表現する。
• 各部分多面体に対してアフィン可解条件を導出し、線形計画法による解法を可能にする。
• 可解問題の解が、全体の多面体上で連続な区分的多項式リャプノフ関数を生成する。
• このアプローチは、多数の状態変数と高次リャプノフ関数を有するシステムにおいても、凸性とスケーラビリティを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Handelman の定理は、任意の凸多面体上での区分的多項式リャプノフ関数の構築に効果的に適用可能か？
• RQ2 提案手法は、高次元システムにおいて、和の平方（SOS）や Polya に基づく手法よりも低い計算複雑性を達成するか？
• RQ3 この区分的多項式リャプノフ関数の構築により、吸引域はどの程度正確に推定可能か？
• RQ4 多面体の幾何構造と分割戦略は、安定性推定の保守性にどのような影響を及ぼすか？
• RQ5 この手法は、逆時系列のヴァン・デル・ポール振動子のような非線形システムに体系的かつ適用可能か？

主な発見

• 提案手法は、多数の状態変数と高次リャプノフ関数を有するシステムにおいて、和の平方（SOS）や Polya に基づく手法と比較して、計算複雑性を低減する。
• 可解問題は線形計画法により解かれるため、大規模システムにおいても効率的な計算が可能である。
• このアプローチは、均衡点を共通頂点とする任意の凸多面体上で、連続な区分的多項式リャプノフ関数を効果的に構築する。
• 逆時系列のヴァン・デル・ポール振動子に対して、異なる種類の多面体を用いても、吸引域の推定が高精度で可能である。
• Handelman の基底により、部分多面体上での非負性条件が体系的かつ凸形式で定式化され、取り扱いやすくなる。
• 分割戦略により、グローバル多項式手法と比較して、柔軟性が向上し、保守性が低減する。