[論文レビュー] Constructing quantum error-correcting codes for p^m-state systems from classical error-correcting codes

Ryutaroh Matsumoto, Tomohiko Uyematsu|ArXiv.org|Nov 4, 1999

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 6被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、F₄ 上の古典的符号から量子誤り訂正符号を構築する手法を、F_{p^{2m}} 上の加法的符号を用いた F_{p^{2m}} 上の p^m状態量子系へ一般化する。[[n,k,d]]_{p^m} 量子符号を古典的線形符号から系統的に導出する方法を確立し、シンディロームに基づく誤り訂正手順を提示し、パunctionされた符号および誤り・消去訂正に適応した古典的アルゴリズムを用いて効率的なデコードを可能にする。

ABSTRACT

We generalize the construction of quantum error-correcting codes from GF(4)-linear codes by Calderbank et al. to p^m-state systems. Then we show how to determine the error from a syndrome. Finally we discuss a systematic construction of quantum codes with efficient decoding algorithms.

研究の動機と目的

• QUBIT系（2準位）から p^m準位を持つ高次元のクーディット系へ、Calderbank-Shor-Steane（CSS）符号の構築法を拡張すること。
• 有限体上の古典的線形符号と p^m状態系の量子符号との間の系統的な関係を確立すること。
• 誤り群の構造と直交部分空間を用いたシンディロームデコードに基づく実用的な誤り訂正手順を提供すること。
• パunctionされた符号に適応した古典的誤り・消去訂正技術を応用することで、量子符号の効率的デコードアルゴリズムを可能にすること。
• Hartmann-Tzeng や制限付きシフトといった境界を、古典的符号から導かれる量子符号の最小距離を推定するために一般化すること。

提案手法

• F_{p^{2m}} 上の加法的符号を用いて、p^m状態系の量子符号を構築し、Calderbank らの F₄ に基づく構築法を一般化する。
• F_p^{2mn} 内のベクトル (a|b) に対応する演算子 X(a)Z(b) によって生成されるアーベル部分群 S を用いて安定化子符号を定義し、特定の交互内積を用いる。
• アーベル性を保証し、k 個の論理的クーディット状態を n 個のクーディット系に符号化するため、交互内積に関する直交補空間 C^⊥ を用いる。
• F_{p^{2m}}-線形関数を F_p-線形関数へ写像する体同型 P_{2m} を用い、F_p 上での古典的デコードを可能にする。
• 元の古典的符号をパunctionし、シンディロームと線形結合を用いて誤りを再構成することで、古典的誤り・消去訂正アルゴリズムを量子符号に適応する。
• Hartmann-Tzeng や制限付きシフトといった境界を満たすように修正された Berlekamp-Massey および Feng-Rao アルゴリズムを用い、誤りを訂正する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 QUBIT系（F₄）から p^m準位のクーディット系へ、古典的符号からの量子誤り訂正符号の構築法をどのように一般化できるか？
• RQ2 安定化子群がアーベル的であり、正しい誤り検出能力を持つために、適切な有限体構造と内積は何か？
• RQ3 古典的デコードアルゴリズムを用いて、p^m状態量子符号に対してシンディロームに基づく誤り訂正をどのように系統的に実装できるか？
• RQ4 古典的受信語が存在しない状況下で、パunctionされた量子符号を扱うために古典的デコードアルゴリズムに必要な修正は何か？
• RQ5 Hartmann-Tzeng や制限付きシフトといった境界を、量子状態で最小距離を推定し、誤り訂正性能を向上させるために使用できるか？

主な発見

• 本稿は、F_p^{2mn} 内の (mn - mk) 次元 F_p-線形符号 C ⊆ F_p^{2mn} を用い、交互内積に関して C ⊆ C^⊥ を満たすように [[n,k,d]]_{p^m} 量子符号を構築する。ここで d は C^⊥ ∖ C 内の最小重みである。
• X(a_i)Z(b_i) によって生成される安定化子群 S はアーベル的であり、その固有空間は n 個のクーディット系に k 個の論理的クーディット状態を符号化する有効な量子符号を形成する。
• シンディロームを F_p^{2mn} 内の古典的誤りベクトルに写像するための同型 P_{2m} を用いることで、古典的アルゴリズムによるデコードが可能になる。
• パunctionされた古典的符号の使用により、古典的誤り・消去訂正アルゴリズムを、古典的受信語が存在しない場合でも量子符号に適用可能になる。
• Hartmann-Tzeng や制限付きシフトの境界を適用することで、最小距離 d をより正確に推定でき、BCH境界を超えてより多くの誤りを訂正可能になる。
• 修正された Feng-Rao アルゴリズムを用いることで、誤り・消去訂正を効率的に実行可能であり、消去位置が既知（例：パunctionによる）の場合に適応可能である。