[論文レビュー] Constructing regular ultrafilters from a model-theoretic point of view

M. Malliaris, Saharon Shelah|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、不安定理論の飽和性と集合論的制約とモデル理論的強度の間の対比に注目し、モデル理論的性質としての正則超フィルターの性質を調査する。可測な $κ$ に対して $λ \geq 2^\kappa$ 上の正則超フィルターを構成し、それが柔軟ではあるが良い性質を持たず、$\operatorname{lcf}(\aleph_0)$ が非常に高いが、ランダムグラフを飽和させない。これはケイスラー順序における超フィルター性質の階層についての核心的問題を解決する。

ABSTRACT

This paper contributes to the set-theoretic side of understanding Keisler's order. We consider properties of ultrafilters which affect saturation of unstable theories: the lower cofinality $\lcf(\aleph_0, \de)$ of $\aleph_0$ modulo $\de$, saturation of the minimum unstable theory (the random graph), flexibility, goodness, goodness for equality, and realization of symmetric cuts. We work in ZFC except when noted, as several constructions appeal to complete ultrafilters thus assume a measurable cardinal. The main results are as follows. First, we investigate the strength of flexibility, detected by non-low theories. Assuming $κ> \aleph_0$ is measurable, we construct a regular ultrafilter on $λ\geq 2^κ$ which is flexible (thus: ok) but not good, and which moreover has large $\lcf(\aleph_0)$ but does not even saturate models of the random graph. We prove that there is a loss of saturation in regular ultrapowers of unstable theories, and give a new proof that there is a loss of saturation in ultrapowers of non-simple theories. Finally, we investigate realization and omission of symmetric cuts, significant both because of the maximality of the strict order property in Keisler's order, and by recent work of the authors on $SOP_2$. We prove that for any $n < ω$, assuming the existence of $n$ measurable cardinals below $λ$, there is a regular ultrafilter $D$ on $λ$ such that any $D$-ultrapower of a model of linear order will have $n$ alternations of cuts, as defined below. Moreover, $D$ will $λ^+$-saturate all stable theories but will not $(2^κ)^+$-saturate any unstable theory, where $κ$ is the smallest measurable cardinal used in the construction.

研究の動機と目的

• ケイスラー順序内における超フィルター性質の階層—柔軟性、良さ、飽和性—を明確化すること、特に不安定理論に関して。
• 可測基数の文脈において、柔軟性が良さや飽和性を意味する程度を調査すること。
• 長年の未解決問題、すなわち「ok」が「良い」を意味するか、非低次の理論がケイスラー順序で最大性をもたらすかという問題を解決すること。
• 線形順序の超べきにおける対称的カットの実現と省略を分析し、これと厳密な順序性および $SOP_2$ の関係を明らかにすること。
• 不安定および非単純理論における正則超フィルターの下での飽和性の損失を示し、鋭い飽和境界を確立すること。

提案手法

• 可測基数 $\kappa > \aleph_0$ を用いて、$\lambda \geq 2^\kappa$ 上の正則超フィルターを構成し、$\kappa$-完全で $\kappa^+$-完全でない超フィルターにより柔軟性を保証する。
• $L_{\kappa,\kappa}$ および $\kappa$-完全性を用いた Łoś の定理を適用し、超べきにおける型の実現とカットの挙動を分析する。
• $\mathcal{P}_{\aleph_0}(\lambda)$ から超フィルターへの関数の乗法的精錬を用い、非標準的要素以下の正則化族を構成する。
• $\lambda$-柔軟性および $\lambda$-OK の概念を用い、柔軟性とこのような正則化族の存在の同値性を示す。
• 線形順序の超べきにおける対称的カットを分析する際、$\kappa$-完全超フィルターを構成し、$n$ 個の可測基数の下で $n$ 回のカットの入れ替えが存在することを証明する。
• 飽和境界を証明する：不安定な $M$ に対して $M^\kappa / \mathcal{D}$ は $(2^\kappa)^+$-飽和でない。非単純な $M$ に対して $M^\lambda / \mathcal{D}$ は $\lambda^{++}$-飽和でない。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 柔軟性のみが、いかなる不安定理論の飽和性を保証するのか、あるいは良さや飽和性から分離可能か。
• RQ2 高 $\operatorname{lcf}(\aleph_0)$ を持つが、ランダムグラフを飽和させない、柔軟ではあるが良い性質を持たない正則超フィルターを構成可能か。
• RQ3 ZFC において「ok」（柔軟性）が「良い」を意味するか、あるいはその独立性は、特に可測基数の下でどうか。
• RQ4 正則超フィルターの下での不安定および非単純理論の超べきにおける飽和の正確な挙動は何か。
• RQ5 $\kappa$-完全および正規超フィルターの下で、線形順序の超べきにおける対称的カットの挙動は何か。また、これと $SOP_2$ の関係は何か。

主な発見

• 可測な $\kappa > \aleph_0$ に対して、$\lambda \geq 2^\kappa$ 上に、柔軟ではあるが良い性質を持たず、$\operatorname{lcf}(\aleph_0) = \kappa$ であるが、ランダムグラフを飽和させない正則超フィルターが存在する。
• この構成により、柔軟性のみではいかなる理論の飽和性を特徴づけられず、ケイスラー順序において「非低次」が最大でないことを示す際の主要な障害が解消される。
• 一貫して、ZFC において「ok」が「良い」を意味しないことが示され、ドーウ（1985）の問題が解決される。可測基数を用いて柔軟性と良さを分離することで達成される。
• 任意の不安定理論 $T$ に対して、$\mathcal{D}$ が $\kappa$ 上で正則であるとき、$M^\kappa / \mathcal{D}$ は $(2^\kappa)^+$-飽和でない。これは鋭い飽和境界を確立する。
• 非単純な $T$ および $\lambda = \lambda^{<\lambda}$ に対して、$M^\lambda / \mathcal{D}$ は $\lambda^{++}$-飽和でない。非単純理論における飽和性の損失を証明する。
• $n < \omega$ に対して、$\lambda$ の下に $n$ 個の可測基数が存在すると仮定する。このとき、$\lambda$ 上に正則超フィルター $D$ が存在し、任意の $D$-超べきにおける線形順序は $n$ 回のカットの入れ替えを持つ。また、$D$ はすべての安定理論を $\lambda^+$-飽和するが、いかなる不安定理論をも飽和させない。