[論文レビュー] Constructing Space From Entanglement Entropy

Michael C. Spillane|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 10被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Ryu-Takayanagi式を用いて、エンタングルメントエントロピーのデータから直接重力双対のバルク計量を再構成する手法を提示する。時間的・並進不変性を持つ一般計量のアンザッツを仮定し、最小表面積から導かれる連立積分方程式を解くことで、1+1次元、2+1次元、3+1次元において計量関数 g(z) を得る。この過程で、c = 3R/(2G_N) などのAdS/CFT辞書の項目が恣意的な入力なしに自然に導かれる。

ABSTRACT

We explicitly reconstruct the metric of a gravity dual to field theories using known entanglement entropies using the Ryu-Takayanagi formula. We use for examples CFT's in $d = 1$, 2 and 3 as well as CFT on a circle of length $L$ and a thermal CFT at temperature $β^{-1}$. We also give the first several coefficients in the Taylor series of the metric for a general entanglement entropy in 1+1 dimensions as well as some examples (Appendix B). The beginnings of a dictionary between the dual theories appears naturally and does not need to be inserted by hand. For example, the dictionary entries $c=3R/2G_N$ for 1+1 dimensional CFT and $N^2 = πR^3/2G_N$ for $\mathcal{N}=4$ SYM in 3+1 dimensions are forced upon us. After uploading this paper I was made aware of (arXiv:1012.1812) which solves the same problem in a similar way.

研究の動機と目的

• 場理論における既知のエンタングルメントエントロピーのデータから、重力双対のバルク計量を再構成する体系的な手法を開発すること。
• AdS/CFT辞書の項目（例：c = 3R/(2G_N) や N² = πR³/(2G_N)）が、計量再構成プロセスから自然に生じるのか、それとも事前に強制されるのかを示すこと。
• 1+1次元、2+1次元、3+1次元、熱的CFT、円上でのCFTを含むさまざまなCFTにおける計量関数 g(z) の明示的解を提供すること。
• 一般の1+1次元エンタングルメントエントロピーに対して、g(z) のテイラー級数の最初のいくつかの係数を導出し、計量の反復的再構成を可能にすること。

提案手法

• 時間的・並進不変性を持つ一般計量のアンザッツを仮定：ds² = (R²/z²)(g(z)²dz² + dx² + Σdx_i²)，正規化を固定するため g(0) = 1 を採用。
• Euler-Lagrange方程式を用いて最小表面積を導出し、x′(z) を g(z) と z_*（バルク内最大深さ）の関数として表現する。
• 2つの連立積分方程式を確立：1つ目は区間長 ℓ と z_* の関係を表す ∫₀^{z_*} [g(z)z^d / √(z_*^{2d} - z^{2d})] dz = ℓ/2、もう1つはエンタングルメントエントロピー S_A と g(z)、z_* を含む。
• ℓ に関する長さ方程式の z_* での微分を用い、UVカットオフを除去し、g′(z) についての微分-積分方程式を導出。この方程式はエンタングルメントエントロピーの ℓ での微分に依存する。
• g(z) = 1 + Σa_n z^n のテイラー級数展開を適用し、2つの積分方程式間の係数を一致させることで、係数 a_n を反復的に解く。
• 1+1次元において、帰納法と再帰関係を用いて、反復的手順の指数的収束を示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Ryu-Takayanagi式を用いて、エンタングルメントエントロピーのデータから直接重力双対のバルク計量を再構成できるか？
• RQ2 c = 3R/(2G_N) などの標準的なAdS/CFT辞書関係は、計量再構成プロセスから自然に生じるのか、それとも事前に強制されるのか？
• RQ3 一般の1+1次元エンタングルメントエントロピーに対して、計量関数 g(z) の構造は何か？ また、そのテイラー係数は体系的に計算可能か？
• RQ4 ドメインウォールやRGフローを伴う非真空幾何に対して、この手法はどのように動作するか？ また、正確な解を得られるか？
• RQ5 一般のエンタングルメントエントロピー関数に対して、g(z) の反復的再構成手順が指数的速さで収束することが証明できるか？

主な発見

• 1+1次元において、エンタングルメントエントロピーのデータから反復的手順を用いて計量関数 g(z) が再構成され、正しい解へ指数的速さで収束する。
• 1+1次元のCFTに対して、c = 3R/(2G_N) の辞書関係が計量再構成から自然に導かれる。事前に強制する必要はない。
• 3+1次元のN=4 SYMに対して、N² = πR³/(2G_N) の関係が計量再構成プロセスから直接導かれる。
• ドメインウォールやRGフローの場合は、計量関数が g(z) = 1 + (2/π) arctan(4z/b) で与えられ、a₁ = 8/(bπ) が得られる。これはエンタングルメントエントロピー ∂_ℓS_A = 1/ℓ + 1/(b+ℓ) から導出される。
• エンタングルメントエントロピー ∂_ℓS_A = 1/ℓ + bℓ の場合、計量関数は g(z) = ₂F₁(1/2, 3/2; 2; 16b²z²) となり、超幾何関数として正確な閉形式が得られる。これは本手法の正確な閉形式を導出可能な能力を示している。
• ∂_ℓS_A = β/sinh(βℓ) の場合、計量関数は g(z) = (2/π) EllipticK(4β²z²) で与えられ、三角関数的ケースからの解析接続によって導出される。